MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrwlkvtxedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrwlkvtxedg 26751
Description: The pairs of connected vertices of a walk are edges in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkvtxedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgrwlkvtxedg ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem upgrwlkvtxedg
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2760 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2upgriswlk 26747 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
4 wlkvtxedg.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Edg‘𝐺)
52, 4upgredginwlk 26742 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
65ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
76imp 444 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸)
8 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
98eqcoms 2768 . . . . . . . 8 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝐸))
107, 9syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1110ralimdva 3100 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1211impancom 455 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
13123adant2 1126 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
153, 14sylbid 230 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
1615imp 444 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {cpr 4323   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477  Vtxcvtx 26073  iEdgciedg 26074  Edgcedg 26138  UPGraphcupgr 26174  Walkscwlks 26702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-edg 26139  df-uhgr 26152  df-upgr 26176  df-wlks 26705
This theorem is referenced by:  umgrwlknloop  26755  wlknewwlksn  26996  upgr3v3e3cycl  27332  upgr4cycl4dv4e  27337
  Copyright terms: Public domain W3C validator