MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1v 26193
Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1v ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1v
StepHypRef Expression
1 usgr1vr 26192 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
21adantrl 752 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3 simplrl 817 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺𝑊)
4 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
53, 4usgr0e 26173 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
65ex 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
72, 6impbid 202 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
87ex 449 . 2 (𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
9 snprc 4285 . . 3 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10 simpl 472 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐺𝑊)
11 simprr 811 . . . . . 6 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = {𝐴})
12 simpl 472 . . . . . 6 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → {𝐴} = ∅)
1311, 12eqtrd 2685 . . . . 5 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = ∅)
14 usgr0vb 26174 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1510, 13, 14syl2an2 892 . . . 4 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1615ex 449 . . 3 ({𝐴} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
179, 16sylbi 207 . 2 𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
188, 17pm2.61i 176 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  {csn 4210  cfv 5926  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  USGraphcusgr 26089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-uspgr 26090  df-usgr 26091
This theorem is referenced by:  usgr1v0edg  26194
  Copyright terms: Public domain W3C validator