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Theorem usgr2pthlem 40967
Description: Lemma for usgr2pth 40968. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgr2pthlem.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2pthlem.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgr2pthlem ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑖,𝐼   𝑥,𝐼,𝑦,𝑧   𝑃,𝑖   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem usgr2pthlem
StepHypRef Expression
1 0nn0 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
2 2nn0 11152 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
3 0le2 10954 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
4 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ (0...2) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 2))
51, 2, 3, 4mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0...2)
6 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:(0...2)⟶𝑉 ∧ 0 ∈ (0...2)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
75, 6mpan2 702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
87adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
9 1nn0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
10 1le2 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≤ 2
11 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ (0...2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 2))
129, 2, 10, 11mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (0...2)
13 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃:(0...2)⟶𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2)) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
1412, 13mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
1514adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
16 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → 𝐺 ∈ USGraph )
17 fvex 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃‘1) ∈ V
1816, 17jctir 558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘1) ∈ V))
19 prcom 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘0)}
2019eqeq2i 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘0)})
2120biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘0)})
2221adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘0)})
2322ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘0)})
24 usgr2pthlem.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2524usgrnloopv 40425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘1) ∈ V) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘0)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0)))
2618, 23, 25sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
2817elsn 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃‘1) ∈ {(𝑃‘0)} ↔ (𝑃‘1) = (𝑃‘0))
2928necon3bbii 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑃‘1) ∈ {(𝑃‘0)} ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
3027, 29sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ¬ (𝑃‘1) ∈ {(𝑃‘0)})
3115, 30eldifd 3546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0)}))
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) → (𝑃‘1) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0)}))
33 sneq 4130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑃‘0) → {𝑥} = {(𝑃‘0)})
3433difeq2d 3685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑃‘0) → (𝑉 ∖ {𝑥}) = (𝑉 ∖ {(𝑃‘0)}))
3534eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑃‘0) → ((𝑃‘1) ∈ (𝑉 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑃‘1) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0)})))
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝑉 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑃‘1) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0)})))
3732, 36mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) → (𝑃‘1) ∈ (𝑉 ∖ {𝑥}))
38 2re 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
3938leidi 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ≤ 2
40 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ (0...2) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 2))
412, 2, 39, 40mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ (0...2)
42 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃:(0...2)⟶𝑉 ∧ 2 ∈ (0...2)) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
4341, 42mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
4443adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
4524usgrf1 40400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼)
4645ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → 𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼)
47 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → 𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼)
4847ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → 𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼)
4946, 48jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼))
50 2nn 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ
51 lbfzo0 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
5250, 51mpbir 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (0..^2)
53 1lt2 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
54 elfzo0 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
559, 50, 53, 54mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ (0..^2)
5652, 55pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ (0..^2) ∧ 1 ∈ (0..^2))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (0 ∈ (0..^2) ∧ 1 ∈ (0..^2)))
58 0ne1 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≠ 1
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → 0 ≠ 1)
6049, 57, 593jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼) ∧ (0 ∈ (0..^2) ∧ 1 ∈ (0..^2)) ∧ 0 ≠ 1))
61 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
6261ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
63 2f1fvneq 40134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼) ∧ (0 ∈ (0..^2) ∧ 1 ∈ (0..^2)) ∧ 0 ≠ 1) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ≠ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
6460, 62, 63sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ≠ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
65 necom 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
66 fvex 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃‘0) ∈ V
67 fvex 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃‘2) ∈ V
6866, 17, 673pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V)
6966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → (𝑃‘0) ∈ V)
70 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
7170ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
7216, 69, 71jca31 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) ∧ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
7372adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) ∧ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
7424usgrnloopv 40425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
7574imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) ∧ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
7673, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
77 pr1nebg 40115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ≠ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
7868, 76, 77sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ≠ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
7965, 78syl5bb 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ≠ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
8064, 79mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))
8167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → (𝑃‘2) ∈ V)
82 prcom 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}
8382eqeq2i 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
8483biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
8685ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
8716, 81, 86jca31 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}))
8887adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}))
8924usgrnloopv 40425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘2) ∈ V) → ((𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)} → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
9089imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
9188, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
9280, 91nelprd 4146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ¬ (𝑃‘2) ∈ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
9344, 92eldifd 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
9493ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) → (𝑃‘2) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
95 preq12 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) → {𝑥, 𝑦} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
9695difeq2d 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) → (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦}) = (𝑉 ∖ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
9796eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦}) ↔ (𝑃‘2) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})))
9897adantll 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦}) ↔ (𝑃‘2) ∈ (𝑉 ∖ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})))
9994, 98mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) → (𝑃‘2) ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦}))
100 eqcom 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = 𝑥)
101 eqcom 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) = 𝑦)
102 eqcom 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) = 𝑧)
103100, 101, 1023anbi123i 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧))
104103biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → ((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧))
105104ad4ant123 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → ((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧))
106100biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = 𝑥)
107106ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) = 𝑥)
108101biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝑃‘1) → (𝑃‘1) = 𝑦)
109108ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → (𝑃‘1) = 𝑦)
110107, 109preq12d 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑥, 𝑦})
111110eqeq2d 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦}))
112102biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (𝑃‘2) → (𝑃‘2) = 𝑧)
113112adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → (𝑃‘2) = 𝑧)
114109, 113preq12d 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑦, 𝑧})
115114eqeq2d 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → ((𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))
116111, 115anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧})))
117116biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))
118105, 117jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 = (𝑃‘0) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧})))
119118exp41 635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑃‘0) → (𝑦 = (𝑃‘1) → (𝑧 = (𝑃‘2) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
120119adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) → (𝑦 = (𝑃‘1) → (𝑧 = (𝑃‘2) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
121120imp31 446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) ∧ 𝑧 = (𝑃‘2)) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))
12299, 121rspcimedv 3279 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) ∧ 𝑦 = (𝑃‘1)) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))
12337, 122rspcimedv 3279 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) ∧ 𝑥 = (𝑃‘0)) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))
1248, 123rspcimedv 3279 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))
125124exp41 635 . . . . . . . . 9 (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧})))))))
126125com15 98 . . . . . . . 8 (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧})))))))
127126pm2.43i 49 . . . . . . 7 (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐺 ∈ USGraph → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
128127com12 32 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
129128adantr 479 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
130 oveq2 6531 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^2))
131130raleqdv 3116 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^2)(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
132 fzo0to2pr 12371 . . . . . . . . 9 (0..^2) = {0, 1}
133132raleqi 3114 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^2)(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
134 2wlklem 25856 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
135133, 134bitri 262 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (0..^2)(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
136131, 135syl6bb 274 . . . . . 6 ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})))
137136adantl 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})))
138 oveq2 6531 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) = 2 → (0...(#‘𝐹)) = (0...2))
139138feq2d 5926 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃:(0...2)⟶𝑉))
140139adantl 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃:(0...2)⟶𝑉))
141 f1eq2 5991 . . . . . . . . 9 ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^2) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼))
142130, 141syl 17 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) = 2 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼))
143142imbi1d 329 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))) ↔ (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧})))))
144143adantl 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))) ↔ (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧})))))
145140, 144imbi12d 332 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧})))) ↔ (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → (𝐹:(0..^2)–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
146129, 137, 1453imtr4d 281 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
147146com14 93 . . 3 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
148147com23 83 . 2 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))))
1491483imp 1248 1 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥, 𝑦})(((𝑃‘0) = 𝑥 ∧ (𝑃‘1) = 𝑦 ∧ (𝑃‘2) = 𝑧) ∧ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑥, 𝑦} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {𝑦, 𝑧}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  Vcvv 3168  cdif 3532  {csn 4120  {cpr 4122   class class class wbr 4573  dom cdm 5024  ran crn 5025  wf 5782  1-1wf1 5783  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   < clt 9926  cle 9927  cn 10863  2c2 10913  0cn0 11135  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Vtxcvtx 40227  iEdgciedg 40228   USGraph cusgr 40377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-umgr 40307  df-usgr 40379
This theorem is referenced by:  usgr2pth  40968
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