MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2trlspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2trlspth 26713
Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2trlspth ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlspth
StepHypRef Expression
1 usgr2trlncl 26712 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
21imp 444 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3 trliswlk 26650 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 wlkonwlk 26614 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)
5 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → 𝐺 ∈ USGraph)
6 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (#‘𝐹) = 2)
7 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘2))
87eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘2) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
98neeq2d 2883 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
109biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
1211imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
13 usgr2wlkspth 26711 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃))
145, 6, 12, 13syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃))
15 spthonisspth 26702 . . . . . . . . 9 (𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
1614, 15syl6bi 243 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
1716expcom 450 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
1817com13 88 . . . . . 6 (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
193, 4, 183syl 18 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
2019impcom 445 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
212, 20mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
2221ex 449 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
23 spthispth 26678 . . 3 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
24 pthistrl 26677 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2523, 24syl 17 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2622, 25impbid1 215 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  2c2 11108  #chash 13157  USGraphcusgr 26089  Walkscwlks 26548  WalksOncwlkson 26549  Trailsctrls 26643  Pathscpths 26664  SPathscspths 26665  SPathsOncspthson 26667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-wlks 26551  df-wlkson 26552  df-trls 26645  df-trlson 26646  df-pths 26668  df-spths 26669  df-pthson 26670  df-spthson 26671
This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  26714
  Copyright terms: Public domain W3C validator