Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgr2trlspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2trlspth 40969
Description: In a simple graph, any trail of length 2 is a simple path. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2trlspth ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlspth
StepHypRef Expression
1 usgr2trlncl 40968 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
21imp 443 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3 trlis1wlk 40907 . . . . . 6 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
4 wlkOnwlk 40872 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)
5 simpll 785 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → 𝐺 ∈ USGraph )
6 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (#‘𝐹) = 2)
7 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘2))
87eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘2) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
98neeq2d 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
109biimpd 217 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
1110adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
1211imp 443 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
13 usgr2wlkspth 40967 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃))
145, 6, 12, 13syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃))
15 spthonisspth-av 40958 . . . . . . . . 9 (𝐹((𝑃‘0)(SPathsOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)
1614, 15syl6bi 241 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃))
1716expcom 449 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)))
1817com13 85 . . . . . 6 (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)))
193, 4, 183syl 18 . . . . 5 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)))
2019impcom 444 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃))
212, 20mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)
2221ex 448 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃))
23 sPthisPth 40934 . . 3 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
24 PthisTrl 40933 . . 3 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
2523, 24syl 17 . 2 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
2622, 25impbid1 213 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  2c2 10917  #chash 12934   USGraph cusgr 40381  1Walksc1wlks 40798  WalksOncwlkson 40800  TrailSctrls 40901  PathScpths 40921  SPathScspths 40922  SPathsOncspthson 40924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-s3 13391  df-uhgr 40282  df-upgr 40310  df-umgr 40311  df-edga 40354  df-uspgr 40382  df-usgr 40383  df-1wlks 40802  df-wlks 40803  df-wlkson 40804  df-trls 40903  df-trlson 40904  df-pths 40925  df-spths 40926  df-pthson 40927  df-spthson 40928
This theorem is referenced by:  usgr2pthspth  40970
  Copyright terms: Public domain W3C validator