Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgr2wlkspthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2wlkspthlem2 40956
Description: Lemma 2 for usgr2wlkspth 40957. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2wlkspthlem2 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → Fun 𝑃)

Proof of Theorem usgr2wlkspthlem2
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐺 ∈ USGraph )
21anim2i 591 . . . . 5 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐺 ∈ USGraph ))
32ancomd 466 . . . 4 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃))
4 3simpc 1053 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
54adantl 481 . . . 4 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
6 usgr2wlkneq 40954 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
73, 5, 6syl2anc 691 . . 3 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
8 simpl 472 . . . 4 ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
9 fvex 6098 . . . . 5 (𝑃‘0) ∈ V
10 fvex 6098 . . . . 5 (𝑃‘1) ∈ V
11 fvex 6098 . . . . 5 (𝑃‘2) ∈ V
129, 10, 113pm3.2i 1232 . . . 4 ((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V)
138, 12jctil 558 . . 3 ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
14 funcnvs3 13458 . . 3 ((((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
157, 13, 143syl 18 . 2 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
16 eqid 2610 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17161wlkpwrd 40814 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18 1wlklenvp1 40815 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
19 oveq1 6534 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) = 2 → ((#‘𝐹) + 1) = (2 + 1))
20 2p1e3 11001 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
2119, 20syl6eq 2660 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = 2 → ((#‘𝐹) + 1) = 3)
22213ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) + 1) = 3)
2318, 22sylan9eq 2664 . . . . 5 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (#‘𝑃) = 3)
24 wrdlen3s3 13489 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 3) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
2517, 23, 24syl2an2r 872 . . . 4 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
2625cnveqd 5208 . . 3 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
2726funeqd 5811 . 2 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (Fun 𝑃 ↔ Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩))
2815, 27mpbird 246 1 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))) → Fun 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173   class class class wbr 4578  ccnv 5027  Fun wfun 5784  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  2c2 10920  3c3 10921  #chash 12937  Word cword 13095  ⟨“cs3 13387  Vtxcvtx 40221   USGraph cusgr 40371  1Walksc1wlks 40788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-uhgr 40272  df-upgr 40300  df-umgr 40301  df-edga 40344  df-uspgr 40372  df-usgr 40373  df-1wlks 40792  df-wlks 40793
This theorem is referenced by:  usgr2wlkspth  40957
  Copyright terms: Public domain W3C validator