MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmplef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgraexmplef 25723
Description: Lemma for usgraexmpl 25724. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v 𝑉 = (0...4)
usgraexmpl.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
Assertion
Ref Expression
usgraexmplef 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉

Proof of Theorem usgraexmplef
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraexmpldifpr 25722 . . 3 (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
2 usgraexmpl.e . . 3 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3 prex 4831 . . . 4 {0, 1} ∈ V
4 prex 4831 . . . 4 {1, 2} ∈ V
5 prex 4831 . . . 4 {2, 0} ∈ V
6 prex 4831 . . . 4 {0, 3} ∈ V
7 s4f1o 13462 . . . 4 ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) → ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))))
83, 4, 5, 6, 7mp4an 704 . . 3 ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
91, 2, 8mp2 9 . 2 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
10 f1of1 6034 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
11 id 22 . . . . . . 7 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
12 vex 3175 . . . . . . . . . . . 12 𝑝 ∈ V
1312elpr 4145 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ↔ (𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}))
14 usgraexmpl.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (0...4)
1514usgraex0elv 25718 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ 𝑉
1614usgraex1elv 25719 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ 𝑉
17 prelpwi 4836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉)
18 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉))
1917, 18syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
2015, 16, 19mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
21 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 1} → (#‘𝑝) = (#‘{0, 1}))
22 prhash2ex 13003 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{0, 1}) = 2
2321, 22syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → (#‘𝑝) = 2)
2420, 23jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
2514usgraex2elv 25720 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ 𝑉
26 prelpwi 4836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉)
27 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉))
2826, 27syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
2916, 25, 28mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
30 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {1, 2} → (#‘𝑝) = (#‘{1, 2}))
31 1ne2 11090 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
32 1nn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
33 2nn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
34 hashprgOLD 12999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 ≠ 2 ↔ (#‘{1, 2}) = 2))
3532, 33, 34mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 ↔ (#‘{1, 2}) = 2)
3631, 35mpbi 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{1, 2}) = 2
3730, 36syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → (#‘𝑝) = 2)
3829, 37jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
3924, 38jaoi 392 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
4013, 39sylbi 205 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
4112elpr 4145 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} ↔ (𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}))
42 prelpwi 4836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉)
43 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉))
4442, 43syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
4525, 15, 44mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
46 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {2, 0} → (#‘𝑝) = (#‘{2, 0}))
47 2ne0 10963 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
48 2z 11245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
49 0z 11224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
50 hashprgOLD 12999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 ≠ 0 ↔ (#‘{2, 0}) = 2))
5148, 49, 50mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≠ 0 ↔ (#‘{2, 0}) = 2)
5247, 51mpbi 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{2, 0}) = 2
5346, 52syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → (#‘𝑝) = 2)
5445, 53jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
5514usgraex3elv 25721 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ 𝑉
56 prelpwi 4836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉)
57 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉))
5856, 57syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
5915, 55, 58mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
60 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 3} → (#‘𝑝) = (#‘{0, 3}))
61 3ne0 10965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ≠ 0
6261necomi 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≠ 3
63 3z 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
64 hashprgOLD 12999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0 ≠ 3 ↔ (#‘{0, 3}) = 2))
6549, 63, 64mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≠ 3 ↔ (#‘{0, 3}) = 2)
6662, 65mpbi 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{0, 3}) = 2
6760, 66syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → (#‘𝑝) = 2)
6859, 67jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
6954, 68jaoi 392 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
7041, 69sylbi 205 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
7140, 70jaoi 392 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
72 elun 3714 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}))
73 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑝 → (#‘𝑒) = (#‘𝑝))
7473eqeq1d 2611 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑝 → ((#‘𝑒) = 2 ↔ (#‘𝑝) = 2))
7574elrab 3330 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
7671, 72, 753imtr4i 279 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
7776ssriv 3571 . . . . . . 7 ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
7811, 77syl6ss 3579 . . . . . 6 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
7978anim2i 590 . . . . 5 ((𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})) → (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}))
80 df-f 5794 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
81 df-f 5794 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}))
8279, 80, 813imtr4i 279 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
8382anim1i 589 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
84 dff12 5998 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
85 dff12 5998 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
8683, 84, 853imtr4i 279 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
879, 10, 86mp2b 10 1 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1976  ∃*wmo 2458  wne 2779  {crab 2899  Vcvv 3172  cun 3537  wss 3539  𝒫 cpw 4107  {cpr 4126   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  ran crn 5029   Fn wfn 5785  wf 5786  1-1wf1 5787  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794  cn 10870  2c2 10920  3c3 10921  4c4 10922  cz 11213  ...cfz 12155  #chash 12937  ⟨“cs4 13388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-s4 13395
This theorem is referenced by:  usgraexmpl  25724  usgrexmpl  40509
  Copyright terms: Public domain W3C validator