MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgsscusgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgsscusgredg 26236
Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgrmaxsize.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f 𝐹 = (Edg‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
usgredgsscusgredg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgrmaxsize.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fusgrmaxsize.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2usgredg 25978 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4 usgrsscusgra.h . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5 usgrsscusgra.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Edg‘𝐻)
64, 5iscusgredg 26200 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7 sneq 4163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
87difeq2d 3711 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9 preq2 4244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
109eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
118, 10raleqbidv 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
1211rspcv 3296 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑉 → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
1413necomd 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏𝑎)
1514anim2i 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏𝑉𝑏𝑎))
16 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
1715, 16sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18 preq1 4243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
1918eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2019rspcv 3296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22 prcom 4242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
2322eqeq2i 2638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2523, 24sylbb 209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2625eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2726biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2827ad2antll 764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2921, 28syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3012, 29syl9 77 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑉 → ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹)))
3130impl 649 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3231adantld 483 . . . . . . 7 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒𝐹))
336, 32syl5bi 232 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3433ex 450 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹)))
3534rexlimivv 3034 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
363, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3736impancom 456 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒𝐸𝑒𝐹))
3837ssrdv 3594 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  cdif 3557  wss 3560  {csn 4153  {cpr 4155  cfv 5850  Vtxcvtx 25769  Edgcedg 25834   USGraph cusgr 25932  ComplUSGraphccusgr 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055  df-edg 25835  df-upgr 25868  df-umgr 25869  df-usgr 25934  df-nbgr 26109  df-uvtxa 26111  df-cplgr 26112  df-cusgr 26113
This theorem is referenced by:  usgrsscusgr  26237  sizusglecusglem1  26238
  Copyright terms: Public domain W3C validator