Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgsscusgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgsscusgredg 26557
 Description: A simple graph is a subgraph of a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgrmaxsize.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgredgsscusgredg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)

Proof of Theorem usgredgsscusgredg
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgrmaxsize.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fusgrmaxsize.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2usgredg 26282 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}))
4 usgrsscusgra.h . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
5 usgrsscusgra.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Edg‘𝐻)
64, 5iscusgredg 26521 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹))
7 sneq 4323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
87difeq2d 3863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → (𝑉 ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑎}))
9 preq2 4405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑎 → {𝑛, 𝑘} = {𝑛, 𝑎})
109eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑎 → ({𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ {𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
118, 10raleqbidv 3283 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
1211rspcv 3437 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑉 → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹))
13 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
1413necomd 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑏𝑎)
1514anim2i 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝑏𝑉𝑏𝑎))
16 eldifsn 4454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
1715, 16sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))
18 preq1 4404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → {𝑛, 𝑎} = {𝑏, 𝑎})
1918eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑏 → ({𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 ↔ {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2019rspcv 3437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹 → {𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹))
22 prcom 4403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
2322eqeq2i 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑒 = {𝑏, 𝑎})
24 eqcom 2759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑏, 𝑎} ↔ {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2523, 24sylbb 209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → {𝑏, 𝑎} = 𝑒)
2625eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2726biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2827ad2antll 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑏, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
2921, 28syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}){𝑛, 𝑎} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3012, 29syl9 77 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑉 → ((𝑏𝑉 ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹)))
3130impl 651 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹𝑒𝐹))
3231adantld 484 . . . . . . 7 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝐻 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}){𝑛, 𝑘} ∈ 𝐹) → 𝑒𝐹))
336, 32syl5bi 232 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏})) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3433ex 449 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹)))
3534rexlimivv 3166 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑒 = {𝑎, 𝑏}) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
363, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝐻 ∈ ComplUSGraph → 𝑒𝐹))
3736impancom 455 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝑒𝐸𝑒𝐹))
3837ssrdv 3742 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → 𝐸𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042  ∃wrex 3043   ∖ cdif 3704   ⊆ wss 3707  {csn 4313  {cpr 4315  ‘cfv 6041  Vtxcvtx 26065  Edgcedg 26130  USGraphcusgr 26235  ComplUSGraphccusgr 26507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304  df-edg 26131  df-upgr 26168  df-umgr 26169  df-usgr 26237  df-nbgr 26416  df-uvtx 26478  df-cplgr 26508  df-cusgr 26509 This theorem is referenced by:  usgrsscusgr  26558  sizusglecusglem1  26559
 Copyright terms: Public domain W3C validator