MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrumgruspgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrumgruspgr 25962
Description: A graph is a simple graph iff it is a multigraph and a simple pseudograph. (Contributed by AV, 30-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgrumgruspgr (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ))

Proof of Theorem usgrumgruspgr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrumgr 25961 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph )
2 usgruspgr 25960 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph )
31, 2jca 554 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ))
4 eqid 2626 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2626 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
64, 5uspgrf 25937 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
7 umgredgss 25918 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑥) = 2})
8 edgval 25836 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
9 prprrab 13190 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑥) = 2}
109eqcomi 2635 . . . . . 6 {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2})
127, 8, 113sstr3d 3631 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2})
13 f1ssr 6066 . . . 4 (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∧ ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2})
146, 12, 13syl2anr 495 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2})
154, 5isusgr 25936 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
1615adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
1714, 16mpbird 247 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → 𝐺 ∈ USGraph )
183, 17impbii 199 1 (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  {crab 2916  cdif 3557  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080  1-1wf1 5847  cfv 5850  cle 10020  2c2 11015  #chash 13054  Vtxcvtx 25769  iEdgciedg 25770  Edgcedg 25834   UMGraph cumgr 25867   USPGraph cuspgr 25931   USGraph cusgr 25932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055  df-edg 25835  df-umgr 25869  df-uspgr 25933  df-usgr 25934
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator