MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uslgra1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uslgra1 25664
Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 25618. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
uslgra1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉 USLGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Proof of Theorem uslgra1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 787 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑋)
2 prex 4828 . . . . . 6 {𝐵, 𝐶} ∈ V
3 f1osng 6071 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
41, 2, 3sylancl 692 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
5 f1of1 6031 . . . . 5 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}} → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
64, 5syl 17 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
7 prssi 4289 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
87adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
92elpw 4110 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
108, 9sylibr 222 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉)
11 prnzg 4250 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
1211ad2antrl 759 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
13 eldifsn 4256 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝐵, 𝐶} ≠ ∅))
1410, 12, 13sylanbrc 694 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
15 hashprlei 13056 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
1615simpri 476 . . . . . . 7 (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
18 fveq2 6085 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐵, 𝐶}))
1918breq1d 4584 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((#‘𝑥) ≤ 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
2019elrab 3327 . . . . . 6 ({𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
2114, 17, 20sylanbrc 694 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
2221snssd 4277 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
23 f1ss 6001 . . . 4 (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
246, 22, 23syl2anc 690 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
25 f1dm 6000 . . . 4 ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
26 f1eq2 5992 . . . 4 (dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
2724, 25, 263syl 18 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
2824, 27mpbird 245 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
29 simpll 785 . . 3 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉𝑊)
30 snex 4827 . . 3 {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
31 isuslgra 25635 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (𝑉 USLGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
3229, 30, 31sylancl 692 . 2 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑉 USLGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}))
3328, 32mpbird 245 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉 USLGrph {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  {crab 2896  Vcvv 3169  cdif 3533  wss 3536  c0 3870  𝒫 cpw 4104  {csn 4121  {cpr 4123  cop 4127   class class class wbr 4574  dom cdm 5025  1-1wf1 5784  1-1-ontowf1o 5786  cfv 5787  Fincfn 7815  cle 9928  2c2 10914  #chash 12931   USLGrph cuslg 25621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-hash 12932  df-uslgra 25624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator