Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uspgredg2vlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspgredg2vlem 26025
 Description: Lemma for uspgredg2v 26026. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgredg2v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgredg2v.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredg2v.a 𝐴 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
uspgredg2vlem ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑧,𝐺   𝑒,𝑁   𝑧,𝑁   𝑧,𝑉   𝑒,𝑌   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒)   𝐸(𝑧)   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem uspgredg2vlem
StepHypRef Expression
1 eleq2 2687 . . 3 (𝑒 = 𝑌 → (𝑁𝑒𝑁𝑌))
2 uspgredg2v.a . . 3 𝐴 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
31, 2elrab2 3352 . 2 (𝑌𝐴 ↔ (𝑌𝐸𝑁𝑌))
4 simpl 473 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌𝐸𝑁𝑌)) → 𝐺 ∈ USPGraph )
5 uspgredg2v.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
65eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑌𝐸𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
76biimpi 206 . . . . 5 (𝑌𝐸𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
87ad2antrl 763 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌𝐸𝑁𝑌)) → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
9 simprr 795 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌𝐸𝑁𝑌)) → 𝑁𝑌)
104, 8, 93jca 1240 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌𝐸𝑁𝑌)) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁𝑌))
11 uspgredg2vtxeu 26022 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁𝑌) → ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
12 uspgredg2v.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13 reueq1 3132 . . . . 5 (𝑉 = (Vtx‘𝐺) → (∃!𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧}))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (∃!𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
1511, 14sylibr 224 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁𝑌) → ∃!𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧})
16 riotacl 6585 . . 3 (∃!𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} → (𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
1710, 15, 163syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌𝐸𝑁𝑌)) → (𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
183, 17sylan2b 492 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃!wreu 2909  {crab 2911  {cpr 4155  ‘cfv 5852  ℩crio 6570  Vtxcvtx 25791  Edgcedg 25856   USPGraph cuspgr 25953 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-hash 13066  df-edg 25857  df-upgr 25890  df-uspgr 25955 This theorem is referenced by:  uspgredg2v  26026
 Copyright terms: Public domain W3C validator