MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcf1 20063
Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcf1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼1-1𝐵)

Proof of Theorem uvcf1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzrring 19193 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 uvcff.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3 uvcff.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 uvcff.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4uvcff 20062 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
61, 5sylan 488 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
7 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
97, 8nzrnz 19192 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
109ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
111ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝐼𝑊)
13 simplrl 799 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝐼)
142, 11, 12, 13, 7uvcvv1 20060 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) = (1r𝑅))
15 simplrr 800 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝐼)
16 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑗)
1716necomd 2845 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝑖)
182, 11, 12, 15, 13, 17, 8uvcvv0 20061 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑗)‘𝑖) = (0g𝑅))
1910, 14, 183netr4d 2867 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈𝑗)‘𝑖))
20 fveq1 6152 . . . . . . 7 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → ((𝑈𝑖)‘𝑖) = ((𝑈𝑗)‘𝑖))
2120necon3i 2822 . . . . . 6 (((𝑈𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈𝑗)‘𝑖) → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗))
2219, 21syl 17 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗))
2322ex 450 . . . 4 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) → (𝑖𝑗 → (𝑈𝑖) ≠ (𝑈𝑗)))
2423necon4d 2814 . . 3 (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑖𝐼𝑗𝐼)) → ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2524ralrimivva 2966 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → ∀𝑖𝐼𝑗𝐼 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
26 dff13 6472 . 2 (𝑈:𝐼1-1𝐵 ↔ (𝑈:𝐼𝐵 ∧ ∀𝑖𝐼𝑗𝐼 ((𝑈𝑖) = (𝑈𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
276, 25, 26sylanbrc 697 1 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wf 5848  1-1wf1 5849  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  0gc0g 16032  1rcur 18433  Ringcrg 18479  NzRingcnzr 19189   freeLMod cfrlm 20022   unitVec cuvc 20053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-nzr 19190  df-dsmm 20008  df-frlm 20023  df-uvc 20054
This theorem is referenced by:  frlmlbs  20068  uvcf1o  20117
  Copyright terms: Public domain W3C validator