Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcff 20332
 Description: Domain and range of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcff ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)

Proof of Theorem uvcff
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2ringidcl 18768 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
51, 4ring0cl 18769 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
63, 5ifcld 4275 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
76ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
8 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))
97, 8fmptd 6548 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
10 fvex 6362 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
11 elmapg 8036 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1210, 11mpan 708 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1312ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
149, 13mpbird 247 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
15 mptexg 6648 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V)
1615ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V)
17 funmpt 6087 . . . . . 6 Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))
1817a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))))
19 fvex 6362 . . . . . 6 (0g𝑅) ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (0g𝑅) ∈ V)
21 snfi 8203 . . . . . 6 {𝑖} ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → {𝑖} ∈ Fin)
23 eldifsni 4466 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) → 𝑗𝑖)
2423adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → 𝑗𝑖)
2524neneqd 2937 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → ¬ 𝑗 = 𝑖)
2625iffalsed 4241 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
27 simplr 809 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
2826, 27suppss2 7498 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑖})
29 suppssfifsupp 8455 . . . . 5 ((((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑖} ∈ Fin ∧ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑖})) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))
3016, 18, 20, 22, 28, 29syl32anc 1485 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))
31 uvcff.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
32 uvcff.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
3331, 1, 4, 32frlmelbas 20302 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))))
3433adantr 472 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))))
3514, 30, 34mpbir2and 995 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
36 eqid 2760 . . 3 (𝑖𝐼 ↦ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))) = (𝑖𝐼 ↦ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))))
3735, 36fmptd 6548 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝑖𝐼 ↦ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))):𝐼𝐵)
38 uvcff.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3938, 2, 4uvcfval 20325 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈 = (𝑖𝐼 ↦ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
4039feq1d 6191 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝑈:𝐼𝐵 ↔ (𝑖𝐼 ↦ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))):𝐼𝐵))
4137, 40mpbird 247 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   supp csupp 7463   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121   finSupp cfsupp 8440  Basecbs 16059  0gc0g 16302  1rcur 18701  Ringcrg 18747   freeLMod cfrlm 20292   unitVec cuvc 20323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-uvc 20324 This theorem is referenced by:  uvcf1  20333  uvcresum  20334  frlmssuvc1  20335  frlmssuvc2  20336  frlmsslsp  20337  frlmlbs  20338  frlmup2  20340  frlmup3  20341  frlmup4  20342  lindsdom  33716  matunitlindflem2  33719  aacllem  43060
 Copyright terms: Public domain W3C validator