Theorem uvcvv0 20928

Description: The unit vector is zero at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
uvcvv0.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
uvcvv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv0	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Proof of Theorem uvcvv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
5		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		uvcvv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	uvcvval 20924	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
10		uvcvv0.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
11		nesym 3072	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 = 𝐽)
12	10, 11	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 𝐽)
13	12	iffalsed 4477	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ) = 0 )
14	9, 13	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ifcif 4466  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0_gc0g 16707  1_rcur 19245   unitVec cuvc 20920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-uvc 20921

This theorem is referenced by:  uvcf1  20930  uvcresum  20931  frlmssuvc1  20932  frlmsslsp  20934  frlmup2  20937