MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcvvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcvvcl 20174
Description: A coodinate of a unit vector is either 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcfval.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcfval.o 1 = (1r𝑅)
uvcfval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
uvcvvcl (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })

Proof of Theorem uvcvvcl
StepHypRef Expression
1 uvcfval.u . . 3 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 uvcfval.o . . 3 1 = (1r𝑅)
3 uvcfval.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3uvcvval 20173 . 2 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ))
5 fvex 6239 . . . . 5 (1r𝑅) ∈ V
62, 5eqeltri 2726 . . . 4 1 ∈ V
7 fvex 6239 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
83, 7eqeltri 2726 . . . 4 0 ∈ V
9 ifpr 4265 . . . 4 (( 1 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 })
106, 8, 9mp2an 708 . . 3 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 1 , 0 }
11 prcom 4299 . . 3 { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
1210, 11eleqtri 2728 . 2 if(𝐾 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ { 0 , 1 }
134, 12syl6eqel 2738 1 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) ∈ { 0 , 1 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  ifcif 4119  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  0gc0g 16147  1rcur 18547   unitVec cuvc 20169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-uvc 20170
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator