Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvtx2vtx1edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvtx2vtx1edg 26220
 Description: If a graph has two vertices, and there is an edge between the vertices, then each vertex is universal. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 25-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxael.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtxa.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uvtx2vtx1edg (((#‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉𝐸) → ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐸

Proof of Theorem uvtx2vtx1edg
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxael.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isuvtxa.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbgr2vtx1edg 26167 . 2 (((#‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉𝐸) → ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
4 hash2prb 13208 . . . . . . 7 (𝑉𝐸 → ((#‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑉 = {𝑥, 𝑦})))
511vgrex 25816 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑉𝐺 ∈ V)
65a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑉 → ((𝑥𝑦𝑉 = {𝑥, 𝑦}) → 𝐺 ∈ V))
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ((𝑥𝑦𝑉 = {𝑥, 𝑦}) → 𝐺 ∈ V))
87rexlimivv 3031 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦𝑉 = {𝑥, 𝑦}) → 𝐺 ∈ V)
94, 8syl6bi 243 . . . . . 6 (𝑉𝐸 → ((#‘𝑉) = 2 → 𝐺 ∈ V))
109impcom 446 . . . . 5 (((#‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉𝐸) → 𝐺 ∈ V)
111uvtxael 26209 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))))
1210, 11syl 17 . . . 4 (((#‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉𝐸) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))))
1312baibd 947 . . 3 ((((#‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉𝐸) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
1413ralbidva 2981 . 2 (((#‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉𝐸) → (∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
153, 14mpbird 247 1 (((#‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉𝐸) → ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  Vcvv 3190   ∖ cdif 3557  {csn 4155  {cpr 4157  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  2c2 11030  #chash 13073  Vtxcvtx 25808  Edgcedg 25873   NeighbVtx cnbgr 26145  UnivVtxcuvtxa 26146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074  df-nbgr 26149  df-uvtxa 26151 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator