Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvtxa01vtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvtxa01vtx 26185
 Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxael.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtxa.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uvtxa01vtx (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (#‘𝑉) = 1))

Proof of Theorem uvtxa01vtx
StepHypRef Expression
1 uvtxael.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isuvtxa.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2uvtxa01vtx0 26184 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 = ∅) → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (#‘𝑉) = 1))
4 fvprc 6142 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (UnivVtx‘𝐺) = ∅)
54adantr 481 . . . 4 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 = ∅) → (UnivVtx‘𝐺) = ∅)
6 nne 2794 . . . 4 (¬ (UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (UnivVtx‘𝐺) = ∅)
75, 6sylibr 224 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 = ∅) → ¬ (UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅)
8 fvprc 6142 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
91eqcomi 2630 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
109eqeq1i 2626 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) = ∅ ↔ 𝑉 = ∅)
11 0ne1 11032 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
1211neii 2792 . . . . . . 7 ¬ 0 = 1
13 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → (#‘𝑉) = (#‘∅))
14 hash0 13098 . . . . . . . . 9 (#‘∅) = 0
1513, 14syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑉 = ∅ → (#‘𝑉) = 0)
1615eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝑉 = ∅ → ((#‘𝑉) = 1 ↔ 0 = 1))
1712, 16mtbiri 317 . . . . . 6 (𝑉 = ∅ → ¬ (#‘𝑉) = 1)
1810, 17sylbi 207 . . . . 5 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → ¬ (#‘𝑉) = 1)
198, 18syl 17 . . . 4 𝐺 ∈ V → ¬ (#‘𝑉) = 1)
2019adantr 481 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 = ∅) → ¬ (#‘𝑉) = 1)
217, 202falsed 366 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 = ∅) → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (#‘𝑉) = 1))
223, 21pm2.61ian 830 1 (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (#‘𝑉) = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ‘cfv 5847  0cc0 9880  1c1 9881  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839  UnivVtxcuvtxa 26112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-nbgr 26115  df-uvtxa 26117 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator