Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvtxupgrres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvtxupgrres 26196
 Description: A universal vertex is universal in a restricted pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbupgruvtxres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbupgruvtxres.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbupgruvtxres.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
nbupgruvtxres.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
uvtxupgrres (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem uvtxupgrres
StepHypRef Expression
1 nbupgruvtxres.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxnbgr 26188 . 2 (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}))
3 nbupgruvtxres.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4 nbupgruvtxres.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
5 nbupgruvtxres.s . . . . . . 7 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
61, 3, 4, 5nbupgruvtxres 26195 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾})))
76imp 445 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}))
81, 3, 4, 5upgrres1lem2 26091 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
98difeq1i 3702 . . . . . . . 8 ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾})
109a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾}))
11 difpr 4303 . . . . . . 7 (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾})
1210, 11syl6reqr 2674 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
1312adantr 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
147, 13eqtrd 2655 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
15 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
1615, 8syl6eleqr 2709 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆))
1716adantr 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆))
18 eqid 2621 . . . . . 6 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
1918uvtxnbgrb 26189 . . . . 5 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆) ↔ (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾})))
2017, 19syl 17 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆) ↔ (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾})))
2114, 20mpbird 247 . . 3 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
2221ex 450 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
232, 22syl5 34 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∉ wnel 2893  {crab 2911   ∖ cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150  ⟨cop 4154   I cid 4984   ↾ cres 5076  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   UPGraph cupgr 25871   NeighbVtx cnbgr 26111  UnivVtxcuvtxa 26112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-edg 25840  df-upgr 25873  df-nbgr 26115  df-uvtxa 26117 This theorem is referenced by:  cusgrres  26231
 Copyright terms: Public domain W3C validator