Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz0 39952
Description: The upper integers function applied to a non integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
uz0 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)

Proof of Theorem uz0
StepHypRef Expression
1 dmuz 39754 . . . . . 6 dom ℤ = ℤ
21eqcomi 2660 . . . . 5 ℤ = dom ℤ
32eleq2i 2722 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ dom ℤ)
43notbii 309 . . 3 𝑀 ∈ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ)
54biimpi 206 . 2 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ)
6 ndmfv 6256 . 2 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
75, 6syl 17 1 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948  dom cdm 5143  cfv 5926  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  uzn0bi  40002  limsupubuz  40263  climlimsupcex  40319
  Copyright terms: Public domain W3C validator