MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz2m1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz2m1nn 11723
Description: One less than an integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
uz2m1nn (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz2m1nn
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 11719 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
2 1z 11367 . . . 4 1 ∈ ℤ
3 znnsub 11383 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
42, 3mpan 705 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
54biimpa 501 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
61, 5sylbi 207 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  1c1 9897   < clt 10034  cmin 10226  cn 10980  2c2 11030  cz 11337  cuz 11647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nnALT  11742  bernneq3  12948  swrdtrcfv0  13396  climcndslem1  14525  exprmfct  15359  oddprm  15458  pockthg  15553  vdwlem5  15632  vdwlem8  15635  efgs1b  18089  efgredlema  18093  wilthlem3  24730  ppiprm  24811  ppinprm  24812  chtprm  24813  chtnprm  24814  lgsval2lem  24966  lgsqrlem2  25006  lgseisenlem1  25034  lgseisenlem3  25036  lgsquadlem3  25041  rplogsumlem1  25107  rplogsumlem2  25108  rpvmasumlem  25110  clwwisshclwwslemlem  26826  umgr2cwwk2dif  26841  psgnfzto1stlem  29677  ballotlemic  30391  ballotlem1c  30392  signstfveq0  30476  jm3.1lem1  37103  jm3.1lem2  37104  trclfvdecomr  37540  itgsinexp  39507  stirlinglem12  39639  fourierdlem54  39714  fourierdlem102  39762  fourierdlem114  39774  pfxtrcfv0  40731  blennngt2o2  41708
  Copyright terms: Public domain W3C validator