MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz2mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz2mulcl 11713
Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
uz2mulcl ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2))

Proof of Theorem uz2mulcl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11644 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 eluzelz 11644 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zmulcl 11373 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2an 494 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5 eluz2b1 11706 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀))
6 zre 11328 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
76anim1i 591 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
85, 7sylbi 207 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
9 eluz2b1 11706 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
10 zre 11328 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110anim1i 591 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
129, 11sylbi 207 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
13 mulgt1 10829 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝑀 ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
1413an4s 868 . . 3 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
158, 12, 14syl2an 494 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
16 eluz2b1 11706 . 2 ((𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑀 · 𝑁)))
174, 15, 16sylanbrc 697 1 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  1c1 9884   · cmul 9888   < clt 10021  2c2 11017  cz 11324  cuz 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  37085
  Copyright terms: Public domain W3C validator