MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz2mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz2mulcl 12314
Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
uz2mulcl ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2))

Proof of Theorem uz2mulcl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12241 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 eluzelz 12241 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zmulcl 12019 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5 eluz2b1 12307 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀))
6 zre 11973 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
76anim1i 614 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
85, 7sylbi 218 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
9 eluz2b1 12307 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
10 zre 11973 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110anim1i 614 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
129, 11sylbi 218 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
13 mulgt1 11487 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝑀 ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
1413an4s 656 . . 3 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
158, 12, 14syl2an 595 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
16 eluz2b1 12307 . 2 ((𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑀 · 𝑁)))
174, 15, 16sylanbrc 583 1 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  39492
  Copyright terms: Public domain W3C validator