MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzaddcl 11695
Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
uzaddcl ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzaddcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11650 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
2 nn0cn 11253 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 9945 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4 addass 9974 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
53, 4mp3an3 1410 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
61, 2, 5syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
76adantr 481 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8 peano2uz 11692 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
98adantl 482 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
107, 9eqeltrrd 2699 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))
1110exp31 629 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
1211a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
131addid1d 10187 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
1413eleq1d 2683 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
1514ibir 257 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀))
16 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 0))
1716eleq1d 2683 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀)))
1817imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀))))
19 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝑘))
2019eleq1d 2683 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)))
2120imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀))))
22 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
2322eleq1d 2683 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀)))
2423imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
25 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝐾))
2625eleq1d 2683 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀)))
2726imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))))
2812, 15, 18, 21, 24, 27nn0indALT 11424 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀)))
2928impcom 446 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890  0cn0 11243  cuz 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639
This theorem is referenced by:  elfz0add  12386  zpnn0elfzo  12488  ccatass  13317  ccatrn  13318  swrdccat1  13402  swrdccat2  13403  splfv1  13450  splval2  13452  revccat  13459  relexpaddg  13734  isercoll2  14340  iseraltlem2  14354  iseraltlem3  14355  mertenslem1  14548  eftlub  14771  vdwlem6  15621  gsumccat  17306  efginvrel2  18068  efgredleme  18084  efgcpbllemb  18096  geolim3  24011  jm2.27c  37081  iunrelexpuztr  37519  pfxccat1  40730
  Copyright terms: Public domain W3C validator