MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzdisj 12237
Description: The first 𝑁 elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzdisj ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅

Proof of Theorem uzdisj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3757 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
21simprbi 478 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
3 eluzle 11532 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑘)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑘)
5 eluzel2 11524 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11529 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 11262 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 690 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 220 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) < 𝑘)
121simplbi 474 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
13 elfzle2 12171 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
158zred 11314 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 peano2zm 11253 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
176, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1817zred 11314 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
1915, 18lenltd 10034 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘))
2014, 19mpbid 220 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘)
2111, 20pm2.21dd 184 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ∅)
2221ssriv 3571 . 2 ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ∅
23 ss0 3925 . 2 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅)
2422, 23ax-mp 5 1 ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3538  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153
This theorem is referenced by:  2prm  15189  uniioombllem4  23077  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator