MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzid 11534
Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzid (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzid
StepHypRef Expression
1 zre 11214 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 10443 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
32ancli 571 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀))
4 eluz1 11523 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀)))
53, 4mpbird 245 1 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  cle 9931  cz 11210  cuz 11519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-neg 10120  df-z 11211  df-uz 11520
This theorem is referenced by:  uzn0  11535  uz11  11542  uzinfi  11600  uzsupss  11612  eluzfz1  12174  eluzfz2  12175  elfz3  12177  elfz1end  12197  fzssp1  12210  fzpred  12214  fzp1ss  12217  fzpr  12221  fztp  12222  elfz0add  12262  fzolb  12300  zpnn0elfzo  12362  fzosplitsnm1  12364  fzofzp1  12386  fzosplitsn  12397  fzostep1  12401  om2uzuzi  12565  axdc4uzlem  12599  seqf  12639  seqfveq  12642  seq1p  12652  faclbnd3  12896  bcm1k  12919  bcn2  12923  seqcoll  13057  ccatass  13170  ccatrn  13171  swrds1  13249  swrdccat1  13255  swrdccat2  13256  splfv1  13303  splval2  13305  revccat  13312  rexuz3  13882  r19.2uz  13885  cau3lem  13888  caubnd2  13891  climconst  14068  climuni  14077  isercoll2  14193  climsup  14194  climcau  14195  serf0  14205  iseralt  14209  fsumcvg3  14253  fsumparts  14325  o1fsum  14332  abscvgcvg  14338  isum1p  14358  isumrpcl  14360  isumsup2  14363  climcndslem1  14366  climcndslem2  14367  climcnds  14368  cvgrat  14400  mertenslem1  14401  ntrivcvgn0  14415  fprodabs  14489  binomfallfaclem2  14556  fprodefsum  14610  eftlub  14624  rpnnen2lem11  14738  bitsfzo  14941  bitsinv1  14948  smupval  14994  seq1st  15068  algr0  15069  eucalg  15084  oddprm  15299  pcfac  15387  pcbc  15388  vdwlem6  15474  prmlem0  15596  gsumprval  17050  gsumccat  17147  efginvrel2  17909  efgsres  17920  telgsumfzs  18155  lmconst  20817  lmmo  20936  zfbas  21452  uzrest  21453  iscau2  22801  iscau4  22803  caun0  22805  caussi  22821  equivcau  22824  lmcau  22836  mbfsup  23154  mbfinf  23155  mbflimsup  23156  plyco0  23669  dvply2g  23761  geolim3  23815  aaliou3lem2  23819  aaliou3lem3  23820  ulm2  23860  ulm0  23866  ulmcaulem  23869  ulmcau  23870  ulmss  23872  ulmcn  23874  ulmdvlem3  23877  ulmdv  23878  abelthlem7  23913  ppinprm  24595  chtnprm  24597  ppiublem1  24644  chtublem  24653  chtub  24654  bposlem6  24731  lgsqr  24793  lgseisenlem4  24820  lgsquadlem1  24822  lgsquad2  24828  pntpbnd1  24992  pntlemf  25011  ostth2lem2  25040  istrkg2ld  25076  axlowdimlem17  25556  3v3e3cycl1  25938  clwwlkvbij  26095  numclwlk2lem2f  26396  fzdif2  28745  esumcvg  29281  dya2ub  29465  dya2icoseg  29472  sseqmw  29586  sseqf  29587  ballotlemfp1  29686  signstfvp  29780  iprodefisumlem  30685  poimirlem1  32376  poimirlem2  32377  poimirlem3  32378  poimirlem4  32379  poimirlem6  32381  poimirlem7  32382  poimirlem8  32383  poimirlem9  32384  poimirlem13  32388  poimirlem14  32389  poimirlem15  32390  poimirlem16  32391  poimirlem17  32392  poimirlem18  32393  poimirlem19  32394  poimirlem20  32395  poimirlem21  32396  poimirlem22  32397  poimirlem23  32398  poimirlem24  32399  poimirlem26  32401  poimirlem27  32402  poimirlem31  32406  poimirlem32  32407  mblfinlem2  32413  sdclem1  32505  fdc  32507  seqpo  32509  incsequz2  32511  geomcau  32521  bfplem2  32588  eq0rabdioph  36154  rexrabdioph  36172  jm3.1lem1  36398  dvgrat  37329  rexanuz3  38099  uzfissfz  38280  allbutfi  38354  fmul01lt1lem1  38448  climinf  38470  climsuse  38472  ioodvbdlimc1lem2  38619  ioodvbdlimc2lem  38621  iblspltprt  38662  stoweidlem7  38697  wallispilem1  38755  wallispilem4  38758  dirkertrigeqlem1  38788  sge0isum  39117  sge0reuzb  39138  carageniuncllem1  39208  caratheodorylem1  39213  smflimlem1  39454  smflimlem2  39455  smflim  39460  iccpartres  39754  iccelpart  39769  pfxccat1  40071  pfxccatpfx2  40089  clwwlksvbij  41224  av-numclwlk2lem2f  41528  fldivexpfllog2  42152  nnlog2ge0lt1  42153  logbpw2m1  42154  fllog2  42155  blennnelnn  42163  blenpw2  42165  blennnt2  42176  nnolog2flm1  42177  dig2nn0ld  42191  dig2nn1st  42192  0dig2pr01  42197  aacllem  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator