MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzin 11680
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 11669 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2 uzss 11668 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3 sseqin2 3801 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
42, 3sylib 208 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
5 eluzle 11660 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
6 iftrue 4070 . . . . . 6 (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
87fveq2d 6162 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑁))
94, 8eqtr4d 2658 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10 uzss 11668 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁))
11 df-ss 3574 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
1210, 11sylib 208 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
13 eluzel2 11652 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 eluzelz 11657 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 zre 11341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 zre 11341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
17 letri3 10083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
1815, 16, 17syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
1913, 14, 18syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
20 eluzle 11660 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
2120biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
2219, 21bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀𝑀𝑁))
2322biimprcd 240 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
246eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀𝑁 = 𝑀))
2523, 24sylibrd 249 . . . . . . 7 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
2625com12 32 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
27 iffalse 4073 . . . . . 6 𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
2826, 27pm2.61d1 171 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
2928fveq2d 6162 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑀))
3012, 29eqtr4d 2658 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
319, 30jaoi 394 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
321, 31syl 17 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3559  wss 3560  ifcif 4064   class class class wbr 4623  cfv 5857  cr 9895  cle 10035  cz 11337  cuz 11647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-neg 10229  df-z 11338  df-uz 11648
This theorem is referenced by:  uzin2  14034  explecnv  14541  uzrest  21641
  Copyright terms: Public domain W3C validator