MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind 11297
Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 11210 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 10439 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
3 uzind.5 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
42, 3jca 552 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝑀𝜓))
54ancli 571 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
6 breq2 4577 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝑀𝑗𝑀𝑀))
7 uzind.1 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
86, 7anbi12d 742 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑀𝜓)))
98elrab 3326 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝜓)))
105, 9sylibr 222 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
11 peano2z 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
1312adantrd 482 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14 zre 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15 ltp1 10706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
1615adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17 peano2re 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
1817ancli 571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19 lelttr 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20193expb 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2118, 20sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2216, 21mpan2d 705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
23 ltle 9973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2417, 23sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2522, 24syld 45 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
261, 14, 25syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2726adantrd 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2827expimpd 626 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝜒𝜃))
30293exp 1255 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀𝑘 → (𝜒𝜃))))
3130imp4d 615 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → 𝜃))
3228, 31jcad 553 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
3313, 32jcad 553 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34 breq2 4577 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
35 uzind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3634, 35anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑘𝜒)))
3736elrab 3326 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝜒)))
38 breq2 4577 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39 uzind.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
4038, 39anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4140elrab 3326 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
4233, 37, 413imtr4g 283 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4342ralrimiv 2943 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
44 peano5uzti 11295 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
4510, 43, 44mp2and 710 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)})
4645sseld 3562 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)}))
47 breq2 4577 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝑀𝑤𝑀𝑁))
4847elrab 3326 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
49 breq2 4577 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
50 uzind.4 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5149, 50anbi12d 742 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑗𝜑) ↔ (𝑀𝑁𝜏)))
5251elrab 3326 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5346, 48, 523imtr3g 282 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏))))
54533impib 1253 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝜏)))
5554simprrd 792 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  {crab 2895  wss 3535   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523  cr 9787  1c1 9789   + caddc 9791   < clt 9926  cle 9927  cz 11206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207
This theorem is referenced by:  uzind2  11298  uzind3  11299  nn0ind  11300  fzind  11303  fi1uzind  13076  fi1uzindOLD  13082  algcvga  15072  zindbi  36328
  Copyright terms: Public domain W3C validator