Theorem uzind2 11305

Description: Induction on the upper integers that start after an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind2.1	⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind2.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind2.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind2.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind2.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind2.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltp1le 11263	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2		peano2z 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		uzind2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	imbi2d 328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)))
5		uzind2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜒)))
7		uzind2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
9		uzind2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏)))
11		uzind2.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓))
13		zltp1le 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
14		uzind2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
15	14	3expia 1258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 → (𝜒 → 𝜃)))
16	13, 15	sylbird 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃)))
17	16	ex 448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
18	17	com3l 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
19	18	imp 443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))
20	19	3adant1 1071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))
21	20	a2d 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜒) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
22	4, 6, 8, 10, 12, 21	uzind 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))
23	22	3exp 1255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
24	2, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
25	24	com34 88	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏))))
26	25	pm2.43a 51	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏)))
27	26	imp 443	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝜏))
28	1, 27	sylbid 228	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝜏))
29	28	3impia 1252	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  1c1 9794   + caddc 9796   < clt 9931   ≤ cle 9932  ℤcz 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214

This theorem is referenced by:  monotuz  36348