Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind4 11706
 Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind4.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind4.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind4.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind4.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4.6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11652 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 eluzelz 11657 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzle 11660 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
4 breq2 4627 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑀𝑚𝑀𝑁))
54elrab 3351 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
62, 3, 5sylanbrc 697 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚})
7 uzind4.1 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
8 uzind4.2 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
9 uzind4.3 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
10 uzind4.4 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
11 uzind4.5 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
12 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑀𝑚𝑀𝑘))
1312elrab 3351 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
14 eluz2 11653 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
1514biimpri 218 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
16153expb 1263 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1713, 16sylan2b 492 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚}) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
18 uzind4.6 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
1917, 18syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚}) → (𝜒𝜃))
207, 8, 9, 10, 11, 19uzind3 11431 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚}) → 𝜏)
211, 6, 20syl2anc 692 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2912   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  1c1 9897   + caddc 9899   ≤ cle 10035  ℤcz 11337  ℤ≥cuz 11647 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648 This theorem is referenced by:  uzind4ALT  11707  uzind4s  11708  uzind4s2  11709  uzind4i  11710  uzwo  11711  seqcl2  12775  seqfveq2  12779  seqshft2  12783  monoord  12787  seqsplit  12790  seqf1o  12798  seqid2  12803  seqhomo  12804  leexp2r  12874  cvgrat  14559  clim2prod  14564  ntrivcvgfvn0  14575  fprodabs  14648  fprodefsum  14769  ruclem9  14911  dvdsfac  14991  smuval2  15147  smupvallem  15148  seq1st  15227  prmreclem4  15566  vdwlem13  15640  2expltfac  15742  telgsumfzs  18326  1stcelcls  21204  caubl  23046  caublcls  23047  volsuplem  23263  cpnord  23638  aaliou3lem2  24036  bcmono  24936  sseqp1  30280  iprodefisumlem  31387  sdclem2  33209  seqpo  33214  mettrifi  33224  incssnn0  36793  dvgrat  38032  climsuselem1  39275  smonoord  40669
 Copyright terms: Public domain W3C validator