Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico 39590
 Description: An upper interval of integers is the intersection of the integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzinico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzinico.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzinico (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinico.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eluzelz2 39440 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 uzinico.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54zred 11467 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65rexrd 10074 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 10077 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
10 zssre 11369 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
11 ressxr 10068 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
1210, 11sstri 3604 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ*
1312, 2sseldi 3593 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ*)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ*)
151eleq2i 2691 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1615biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzle 11685 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑀𝑘)
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2010, 2sseldi 3593 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
2120ltpnfd 11940 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 < +∞)
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 < +∞)
237, 9, 14, 19, 22elicod 12209 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
243, 23elind 3790 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
2524ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
264adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀 ∈ ℤ)
27 elinel1 3791 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2827adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29 elinel2 3792 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
316adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
328a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
33 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
3431, 32, 33icogelbd 39588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
3530, 34syldan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑀𝑘)
361, 26, 28, 35eluzd 39448 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘𝑍)
3736ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) → 𝑘𝑍))
3825, 37impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
3938alrimiv 1853 . 2 (𝜑 → ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
40 dfcleq 2614 . 2 (𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ ∀𝑘(𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
4139, 40sylibr 224 1 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1479   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ∩ cin 3566   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℝcr 9920  +∞cpnf 10056  ℝ*cxr 10058   < clt 10059   ≤ cle 10060  ℤcz 11362  ℤ≥cuz 11672  [,)cico 12162 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-pnf 10061  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-neg 10254  df-z 11363  df-uz 11673  df-ico 12166 This theorem is referenced by:  uzinico2  39592  limsupresuz  39735  liminfresuz  39810
 Copyright terms: Public domain W3C validator