Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico3 40289
Description: An upper interval of integers doesn't change when it's intersected with a left-closed, unbounded above interval, with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzinico3.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzinico3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzinico3 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico3
StepHypRef Expression
1 uzinico3.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21uzidd 40125 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
32uzinico2 40288 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑀) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
4 uzinico3.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
65ineq1d 3952 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
75, 6eqeq12d 2771 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ (ℤ𝑀) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞))))
83, 7mpbird 247 1 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1628  wcel 2135  cin 3710  cfv 6045  (class class class)co 6809  +∞cpnf 10259  cz 11565  cuz 11875  [,)cico 12366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-neg 10457  df-z 11566  df-uz 11876  df-ico 12370
This theorem is referenced by:  liminfvaluz  40523  limsupvaluz3  40529
  Copyright terms: Public domain W3C validator