MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0 11741
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 11728 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 6083 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
3 fvelrnb 6282 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀)
5 uzid 11740 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ𝑘))
6 ne0i 3954 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑘) → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
8 neeq1 2885 . . . 4 ((ℤ𝑘) = 𝑀 → ((ℤ𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 235 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅))
109rexlimiv 3056 . 2 (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅)
114, 10sylbi 207 1 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  c0 3948  𝒫 cpw 4191  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  heibor1lem  33738
  Copyright terms: Public domain W3C validator