MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsplit 12967
Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 12968) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzsplit (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))

Proof of Theorem uzsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12242 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 eluzelre 12242 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
3 lelttric 10735 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁))
5 eluzelz 12241 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluzelz 12241 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 eluz 12245 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑘))
9 eluzle 12244 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
106, 9jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
1110adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
12 eluzel2 12236 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzm11 12966 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁)))
14 df-3an 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘 < 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁))
1513, 14syl6bb 288 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1612, 5, 15syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑘 < 𝑁)))
1711, 16mpbirand 703 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑘 < 𝑁))
188, 17orbi12d 912 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) ↔ (𝑁𝑘𝑘 < 𝑁)))
194, 18mpbird 258 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
2019orcomd 865 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2120ex 413 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
22 elfzuz 12892 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
24 uztrn 12249 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2524expcom 414 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2623, 25jaod 853 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
2721, 26impbid 213 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))))
28 elun 4122 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
2927, 28syl6bbr 290 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁))))
3029eqrdv 2816 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑀) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (ℤ𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cun 3931   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  nn0split  13010  uniioombllem3  24113  uniioombllem4  24114  plyaddlem1  24730  plymullem1  24731  trclfvdecomr  39951  nnsplit  41502  sbgoldbo  43829  aacllem  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator