MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzss 11652
Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzss (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzss
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzle 11644 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀𝑁)
3 eluzel2 11636 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 eluzelz 11641 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4jca 554 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 zletr 11365 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
763expa 1262 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
85, 7sylan 488 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
92, 8mpand 710 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑀𝑘))
109imdistanda 728 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
11 eluz1 11635 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)))
124, 11syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)))
13 eluz1 11635 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
143, 13syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
1510, 12, 143imtr4d 283 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
1615ssrdv 3589 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wss 3555   class class class wbr 4613  cfv 5847  cle 10019  cz 11321  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  uzin  11664  uznnssnn  11679  fzopth  12320  4fvwrd4  12400  fzouzsplit  12444  seqfeq2  12764  rexuzre  14026  cau3lem  14028  climsup  14334  isumsplit  14497  isumrpcl  14500  cvgrat  14540  clim2prod  14545  fprodntriv  14597  isprm3  15320  pcfac  15527  lmflf  21719  caucfil  22989  uniioombllem4  23260  mbflimsup  23339  ulmres  24046  ulmcaulem  24052  logfaclbnd  24847  axlowdimlem17  25738  poimirlem1  33039  poimirlem2  33040  poimirlem6  33044  poimirlem7  33045  poimirlem20  33058  uzssd  39095  climinf  39239  climsuse  39241  climresmpt  39292  climleltrp  39309  limsupequzlem  39355  supcnvlimsup  39373  ioodvbdlimc1lem1  39449  ioodvbdlimc1lem2  39450  ioodvbdlimc2lem  39452  meaiininclem  40004  smflimlem2  40284  smflimsuplem2  40331  smflimsuplem3  40332  smflimsuplem4  40333  smflimsuplem5  40334  smflimsuplem6  40335  smflimsuplem7  40336  fzoopth  40631
  Copyright terms: Public domain W3C validator