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Theorem uzsubsubfz 12321
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz ((𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 11653 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿))
2 eluz2 11653 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁))
3 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 zsubcl 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
76adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
85, 7zsubcld 11447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)
93, 5, 83jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ))
109ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
11103adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1211com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1413imp 445 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ))
15 zre 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 zre 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
2117, 20subge0d 10577 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
2221exbiri 651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → (𝐿𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
2322com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
24233impia 1258 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿)))
2524impcom 446 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝐿))
26 zre 11341 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29 resubcl 10305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3015, 18, 29syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
31303adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3328, 32addge02d 10576 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀)))
3425, 33mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀))
35 zcn 11342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 zcn 11342 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39383ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
4039adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41 zcn 11342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
4342adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
4437, 40, 43subsubd 10380 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) = ((𝑁𝐿) + 𝑀))
4534, 44breqtrrd 4651 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)))
46183ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47 subge0 10501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4846, 26, 47syl2anr 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4948exbiri 651 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀𝐿 → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5049com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5150imp31 448 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝐿𝑀))
52153ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5352adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54 resubcl 10305 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
5546, 27, 54syl2anr 495 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
5653, 55subge02d 10579 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
5751, 56mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)
5845, 57jca 554 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
59 elfz2 12291 . . . . . . 7 ((𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)))
6014, 58, 59sylanbrc 697 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
6160ex 450 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62613adant2 1078 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
632, 62syl5bi 232 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
641, 63sylbi 207 . 2 (𝐿 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
6564imp 445 1 ((𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899  cle 10035  cmin 10226  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  12322
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