Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsupss 11818
 Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsupss ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 11740 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzsupss.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleqr 2741 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀𝑍)
6 ral0 4109 . . . 4 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7 simpr 476 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
87raleqdv 3174 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
96, 8mpbiri 248 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10 eluzle 11738 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑦)
11 eluzel2 11730 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13 zre 11419 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14 zre 11419 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15 lenlt 10154 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1613, 14, 15syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1711, 12, 16syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1810, 17mpbid 222 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
1918, 4eleq2s 2748 . . . . . 6 (𝑦𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
2019pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑦𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2120rgen 2951 . . . 4 𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
2221a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
23 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦𝑀 < 𝑦))
2423notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
2524ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑀))
2726imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2827ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2925, 28anbi12d 747 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3029rspcev 3340 . . 3 ((𝑀𝑍 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
315, 9, 22, 30syl12anc 1364 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32 simpl2 1085 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑍)
33 uzssz 11745 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
344, 33eqsstri 3668 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
3532, 34syl6ss 3648 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36 simpr 476 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37 simpl3 1086 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
38 zsupss 11815 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1366 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40 ssrexv 3700 . . 3 (𝐴𝑍 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4132, 39, 40sylc 65 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4231, 41pm2.61dane 2910 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  ℝcr 9973   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726 This theorem is referenced by:  dgrcl  24034  dgrub  24035  dgrlb  24037  oddpwdc  30544
 Copyright terms: Public domain W3C validator