MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uztric 11653
Description: Totality of the ordering relation on integers, stated in terms of upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
uztric ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))

Proof of Theorem uztric
StepHypRef Expression
1 zre 11326 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 11326 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 letric 10082 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
41, 2, 3syl2an 494 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
5 eluz 11645 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6 eluz 11645 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑀))
76ancoms 469 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑀))
85, 7orbi12d 745 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
94, 8mpbird 247 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  cr 9880  cle 10020  cz 11322  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-neg 10214  df-z 11323  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  uzin  11664  caubnd  14027  isercoll  14327  sumrb  14372  prodrb  14582  smupvallem  15124  prmreclem5  15543  efgredlemb  18075  1stckgenlem  21261  caucfil  22984  bcmax  24898
  Copyright terms: Public domain W3C validator