MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uztrn 11916
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11904 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 473 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 11909 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 472 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 eluzle 11912 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
65adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
7 eluzle 11912 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑀)
87adantr 472 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾𝑀)
9 eluzelz 11909 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
109adantl 473 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 zletr 11633 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
122, 10, 4, 11syl3anc 1477 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
136, 8, 12mp2and 717 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑀)
14 eluz2 11905 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
152, 4, 13, 14syl3anbrc 1429 1 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  cle 10287  cz 11589  cuz 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900
This theorem is referenced by:  uztrn2  11917  fzsplit2  12579  fzass4  12592  fzss1  12593  fzss2  12594  uzsplit  12625  seqfveq2  13037  sermono  13047  seqsplit  13048  seqid2  13061  fzsdom2  13427  seqcoll  13460  spllen  13725  splfv2a  13727  splval2  13728  climcndslem1  14800  mertenslem1  14835  ntrivcvgfvn0  14850  zprod  14886  dvdsfac  15270  smupvallem  15427  vdwlem2  15908  vdwlem6  15912  efgredleme  18376  bposlem6  25234  dchrisumlem2  25399  axlowdimlem16  26057  fzsplit3  29883  sseqf  30784  ballotlemsima  30907  ballotlemfrc  30918  climuzcnv  31893  seqpo  33874  incsequz2  33876  mettrifi  33884  monotuz  38026
  Copyright terms: Public domain W3C validator