MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uztrn 12250
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12237 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 482 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12242 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 481 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 eluzle 12245 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
65adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
7 eluzle 12245 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑀)
87adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾𝑀)
9 eluzelz 12242 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 zletr 12015 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
111, 9, 4, 10syl2an23an 1415 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
126, 8, 11mp2and 695 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑀)
13 eluz2 12238 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
142, 4, 12, 13syl3anbrc 1335 1 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  cle 10665  cz 11970  cuz 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233
This theorem is referenced by:  uztrn2  12251  fzsplit2  12922  fzass4  12935  fzss1  12936  fzss2  12937  uzsplit  12969  seqfveq2  13382  sermono  13392  seqsplit  13393  seqid2  13406  fzsdom2  13779  seqcoll  13812  spllen  14106  splfv2a  14108  splval2  14109  climcndslem1  15194  mertenslem1  15230  ntrivcvgfvn0  15245  zprod  15281  dvdsfac  15666  smupvallem  15822  vdwlem2  16308  vdwlem6  16312  efgredleme  18800  bposlem6  25793  dchrisumlem2  25994  axlowdimlem16  26671  fzsplit3  30444  sseqf  31550  ballotlemsima  31673  ballotlemfrc  31684  climuzcnv  32812  seqpo  34905  incsequz2  34907  mettrifi  34915  monotuz  39418
  Copyright terms: Public domain W3C validator