Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzublem 39156
 Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzublem.1 𝑗𝜑
uzublem.2 𝑗𝑋
uzublem.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzublem.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzublem.5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
uzublem.6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
uzublem.7 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
uzublem.8 (𝜑𝐾𝑍)
uzublem.9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
uzublem.10 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
Assertion
Ref Expression
uzublem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem uzublem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzublem.7 . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 uzublem.5 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 uzublem.6 . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
5 uzublem.1 . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 10078 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 12728 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
9 uzublem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 uzublem.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑍)
11 uzublem.4 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
1211eluzelz2 39126 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑍𝐾 ∈ ℤ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
149zred 11442 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1514leidd 10554 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑀)
1610, 11syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzle 11660 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐾)
199, 13, 9, 15, 18elfzd 39135 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝐾))
2019ne0d 38833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ≠ ∅)
21 fzssuz 12340 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)
2211eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = 𝑍
2321, 22sseqtri 3622 . . . . . . . 8 (𝑀...𝐾) ⊆ 𝑍
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
2523, 24sseldi 3586 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗𝑍)
26 uzublem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2725, 26sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ)
285, 7, 8, 20, 27fisupclrnmpt 39121 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
294, 28eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
302, 29ifcld 4109 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
311, 30syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3226adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵 ∈ ℝ)
332ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
3431ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
35 uzublem.10 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
3635ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
37 eqid 2621 . . . . . . . 8 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
3813ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾 ∈ ℤ)
3911eluzelz2 39126 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
4039ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
41 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
4237, 38, 40, 41eluzd 39134 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
43 rspa 2926 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐵𝑌)
4436, 42, 43syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑌)
45 max2 11977 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
4629, 2, 45syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
4746, 1syl6breqr 4665 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
4847ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
4932, 33, 34, 44, 48letrd 10154 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑋)
50 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → ¬ 𝐾𝑗)
51 uzssre 39119 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5211, 51eqsstri 3620 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℝ
5352sseli 3584 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
5453ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
5552, 10sseldi 3586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
5655ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
5754, 56ltnled 10144 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → (𝑗 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑗))
5850, 57mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝑗 < 𝐾)
5926adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ∈ ℝ)
603, 29syl5eqelr 2703 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
613, 60syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
6261ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊 ∈ ℝ)
632, 61ifcld 4109 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
641, 63syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6564ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ℝ)
66 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝜑)
679ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
6813ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6911eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7069biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7170ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
72 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 < 𝐾)
7371, 68, 72elfzod 39123 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾))
74 elfzouz 12431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7574, 22syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗𝑍)
7673, 75, 393syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
77 eluzle 11660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
7870, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
7978ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀𝑗)
8073, 75, 533syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℝ)
8155ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
8280, 81, 72ltled 10145 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗𝐾)
8367, 68, 76, 79, 82elfzd 39135 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
845, 27ralrimia 38840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ)
85 fimaxre3 10930 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀...𝐾) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵𝑦)
868, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵𝑦)
875, 27, 86suprubrnmpt 38979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
8866, 83, 87syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
8988, 3syl6breqr 4665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵𝑊)
90 max1 11975 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9129, 2, 90syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9291, 1syl6breqr 4665 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝑋)
9392ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊𝑋)
9459, 62, 65, 89, 93letrd 10154 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵𝑋)
9558, 94syldan 487 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑋)
9649, 95pm2.61dan 831 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵𝑋)
9796ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵𝑋))
985, 97ralrimi 2953 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋)
99 nfv 1840 . . 3 𝑥𝑗𝑍 𝐵𝑋
100 nfcv 2761 . . . . 5 𝑗𝑥
101 uzublem.2 . . . . 5 𝑗𝑋
102100, 101nfeq 2772 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
103 breq2 4627 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥𝐵𝑋))
104102, 103ralbid 2979 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋))
10599, 104rspce 3294 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
10631, 98, 105syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987  Ⅎwnfc 2748  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  ifcif 4064   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683   Or wor 5004  ran crn 5085  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  supcsup 8306  ℝcr 9895   < clt 10034   ≤ cle 10035  ℤcz 11337  ℤ≥cuz 11647  ...cfz 12284  ..^cfzo 12422 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423 This theorem is referenced by:  uzub  39157
 Copyright terms: Public domain W3C validator