MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vacn 27416
Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vacn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vacn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vacn.g 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
vacn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vacn
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 vacn.g . . 3 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
31, 2nvgf 27340 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈))
4 rphalfcl 11809 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
54adantl 482 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7 vacn.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
81, 7imsmet 27413 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
10 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
12 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈))
13 metcl 22056 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
149, 11, 12, 13syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
15 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
17 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18 metcl 22056 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
199, 16, 17, 18syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
20 rpre 11790 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑟 ∈ ℝ)
22 lt2halves 11218 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
2314, 19, 21, 22syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
24 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
251, 24nvmcl 27368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥( −𝑣𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
266, 11, 12, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥( −𝑣𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
271, 24nvmcl 27368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
286, 16, 17, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
29 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
301, 2, 29nvtri 27392 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥( −𝑣𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV𝑈)‘((𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)) + ((normCV𝑈)‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
316, 26, 28, 30syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)) + ((normCV𝑈)‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
321, 2nvgcl 27342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
336, 11, 16, 32syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
341, 2nvgcl 27342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
356, 12, 17, 34syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
361, 24, 29, 7imsdval 27408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
376, 33, 35, 36syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
381, 2, 24nvaddsub4 27379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
396, 11, 16, 12, 17, 38syl122anc 1332 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
4039fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝐺𝑤))) = ((normCV𝑈)‘((𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
4137, 40eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV𝑈)‘((𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
421, 24, 29, 7imsdval 27408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)))
436, 11, 12, 42syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)))
441, 24, 29, 7imsdval 27408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV𝑈)‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
456, 16, 17, 44syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV𝑈)‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
4643, 45oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑧)) + ((normCV𝑈)‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
4731, 41, 463brtr4d 4650 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)))
48 metcl 22056 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
499, 33, 35, 48syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
5014, 19readdcld 10020 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
51 lelttr 10079 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
5249, 50, 21, 51syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
5347, 52mpand 710 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟 → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
5423, 53syld 47 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
5554ralrimivva 2966 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
56 breq2 4622 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2)))
57 breq2 4622 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐶𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)))
5856, 57anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2))))
5958imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
60592ralbidv 2984 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
6160rspcev 3298 . . . . 5 (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
625, 55, 61syl2anc 692 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
6362ralrimiva 2961 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
6463ralrimivva 2966 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
651, 7imsxmet 27414 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
66 vacn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
6766, 66, 66txmetcn 22272 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))) → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
6865, 65, 65, 67syl3anc 1323 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
693, 64, 68mpbir2and 956 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908   class class class wbr 4618   × cxp 5077  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9886   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026   / cdiv 10635  2c2 11021  +crp 11783  ∞Metcxmt 19659  Metcme 19660  MetOpencmopn 19664   Cn ccn 20947   ×t ctx 21282  NrmCVeccnv 27306   +𝑣 cpv 27307  BaseSetcba 27308  𝑣 cnsb 27311  normCVcnmcv 27312  IndMetcims 27313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-xms 22044  df-tms 22046  df-grpo 27214  df-gid 27215  df-ginv 27216  df-gdiv 27217  df-ablo 27266  df-vc 27281  df-nv 27314  df-va 27317  df-ba 27318  df-sm 27319  df-0v 27320  df-vs 27321  df-nmcv 27322  df-ims 27323
This theorem is referenced by:  vmcn  27421  dipcn  27442  hlimadd  27917
  Copyright terms: Public domain W3C validator