MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vcm 27629
Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 25-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vcm.1 𝐺 = (1st𝑊)
vcm.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vcm.3 𝑋 = ran 𝐺
vcm.4 𝑀 = (inv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vcm ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))

Proof of Theorem vcm
StepHypRef Expression
1 vcm.1 . . . . 5 𝐺 = (1st𝑊)
21vcgrp 27623 . . . 4 (𝑊 ∈ CVecOLD𝐺 ∈ GrpOp)
32adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐺 ∈ GrpOp)
4 neg1cn 11205 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 vcm.2 . . . . 5 𝑆 = (2nd𝑊)
6 vcm.3 . . . . 5 𝑋 = ran 𝐺
71, 5, 6vccl 27616 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an2 1493 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9 eqid 2692 . . . 4 (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
106, 9grporid 27569 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)) = (-1𝑆𝐴))
113, 8, 10syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)) = (-1𝑆𝐴))
12 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
13 vcm.4 . . . . . . . 8 𝑀 = (inv‘𝐺)
146, 13grpoinvcl 27576 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 489 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ 𝑋)
166grpoass 27555 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝑀𝐴) ∈ 𝑋)) → (((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝐺(𝑀𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))))
173, 8, 12, 15, 16syl13anc 1409 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝐺(𝑀𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))))
181, 5, 6vcidOLD 27617 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1918oveq2d 6749 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴))
20 ax-1cn 10075 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
21 1pneg1e0 11210 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
2220, 4, 21addcomli 10309 . . . . . . . . 9 (-1 + 1) = 0
2322oveq1i 6743 . . . . . . . 8 ((-1 + 1)𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴)
241, 5, 6vcdir 27619 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-1 + 1)𝑆𝐴) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
254, 24mp3anr1 1502 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-1 + 1)𝑆𝐴) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
2620, 25mpanr1 721 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1 + 1)𝑆𝐴) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
271, 5, 6, 9vc0 27627 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (GId‘𝐺))
2823, 26, 273eqtr3a 2750 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (GId‘𝐺))
2919, 28eqtr3d 2728 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (GId‘𝐺))
3029oveq1d 6748 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝐺(𝑀𝐴)) = ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)))
3117, 30eqtr3d 2728 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))) = ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)))
326, 9, 13grporinv 27579 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(𝑀𝐴)) = (GId‘𝐺))
332, 32sylan 489 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(𝑀𝐴)) = (GId‘𝐺))
3433oveq2d 6749 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)))
3531, 34eqtr3d 2728 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)))
366, 9grpolid 27568 . . . 4 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑀𝐴) ∈ 𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴))
373, 15, 36syl2anc 696 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴))
3835, 37eqtr3d 2728 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)) = (𝑀𝐴))
3911, 38eqtr3d 2728 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  ran crn 5187  cfv 5969  (class class class)co 6733  1st c1st 7251  2nd c2nd 7252  cc 10015  0cc0 10017  1c1 10018   + caddc 10020  -cneg 10348  GrpOpcgr 27541  GIdcgi 27542  invcgn 27543  CVecOLDcvc 27611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-ltxr 10160  df-sub 10349  df-neg 10350  df-grpo 27545  df-gid 27546  df-ginv 27547  df-ablo 27597  df-vc 27612
This theorem is referenced by:  nvinv  27692
  Copyright terms: Public domain W3C validator