MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ai 26312
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋𝑈𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1ai.x 𝑋𝑉
vdegp1ai.xu 𝑋𝑈
vdegp1ai.y 𝑌𝑉
vdegp1ai.yu 𝑌𝑈
vdegp1ai.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 prex 4875 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5 wrdf 13244 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
6 ffun 6007 . . . . . 6 (𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
84, 7mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → Fun 𝐼)
9 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
109a1i 11 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
11 vdegp1ai.f . . . . 5 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
12 wrdv 13254 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
134, 12ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
14 cats1un 13408 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
1513, 14mpan 705 . . . . 5 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
1611, 15syl5eq 2672 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
17 fvex 6160 . . . . 5 (#‘𝐼) ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (#‘𝐼) ∈ V)
19 wrdlndm 13255 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
204, 19mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
21 vdegp1ai.u . . . . 5 𝑈𝑉
2221a1i 11 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈𝑉)
23 id 22 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
24 vdegp1ai.xu . . . . . . 7 𝑋𝑈
2524necomi 2850 . . . . . 6 𝑈𝑋
26 vdegp1ai.yu . . . . . . 7 𝑌𝑈
2726necomi 2850 . . . . . 6 𝑈𝑌
2825, 27prneli 4178 . . . . 5 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌}
2928a1i 11 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌})
302, 3, 8, 10, 16, 18, 20, 22, 23, 29p1evtxdeq 26289 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
311, 30ax-mp 5 . 2 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
32 vdegp1ai.d . 2 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
3331, 32eqtri 2648 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wnel 2899  {crab 2916  Vcvv 3191  cdif 3557  cun 3558  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  {cpr 4155  cop 4159   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  Fun wfun 5844  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  cle 10020  2c2 11015  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228  Vtxcvtx 25769  iEdgciedg 25770  VtxDegcvtxdg 26242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-vtx 25771  df-iedg 25772  df-vtxdg 26243
This theorem is referenced by:  konigsberglem1  26974  konigsberglem2  26975  konigsberglem3  26976
  Copyright terms: Public domain W3C validator