Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ai 26488
 Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1ai.x 𝑋𝑉
vdegp1ai.xu 𝑋𝑈
vdegp1ai.y 𝑌𝑉
vdegp1ai.yu 𝑌𝑈
vdegp1ai.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 prex 4939 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5 wrdf 13342 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
6 ffun 6086 . . . . . 6 (𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
84, 7mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → Fun 𝐼)
9 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
109a1i 11 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
11 vdegp1ai.f . . . . 5 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
12 wrdv 13352 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
134, 12ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
14 cats1un 13521 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
1513, 14mpan 706 . . . . 5 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
1611, 15syl5eq 2697 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
17 fvexd 6241 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (#‘𝐼) ∈ V)
18 wrdlndm 13353 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
194, 18mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
20 vdegp1ai.u . . . . 5 𝑈𝑉
2120a1i 11 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈𝑉)
22 id 22 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
23 vdegp1ai.xu . . . . . . 7 𝑋𝑈
2423necomi 2877 . . . . . 6 𝑈𝑋
25 vdegp1ai.yu . . . . . . 7 𝑌𝑈
2625necomi 2877 . . . . . 6 𝑈𝑌
2724, 26prneli 4235 . . . . 5 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌}
2827a1i 11 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌})
292, 3, 8, 10, 16, 17, 19, 21, 22, 28p1evtxdeq 26465 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
301, 29ax-mp 5 . 2 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
31 vdegp1ai.d . 2 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
3230, 31eqtri 2673 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∉ wnel 2926  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   ≤ cle 10113  2c2 11108  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  VtxDegcvtxdg 26417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-vtxdg 26418 This theorem is referenced by:  konigsberglem1  27230  konigsberglem2  27231  konigsberglem3  27232
 Copyright terms: Public domain W3C validator