MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1bi 26336
Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x 𝑋𝑉
vdegp1bi.xu 𝑋𝑈
vdegp1bi.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi
StepHypRef Expression
1 prex 4875 . . 3 {𝑈, 𝑋} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5 wrdf 13257 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
65ffund 6011 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10 vdegp1bi.f . . . . 5 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11 wrdv 13267 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 13421 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1412, 13mpan 705 . . . . 5 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1510, 14syl5eq 2667 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16 fvex 6163 . . . . 5 (#‘𝐼) ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (#‘𝐼) ∈ V)
18 wrdlndm 13268 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
194, 18mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
20 vdegp1ai.u . . . . 5 𝑈𝑉
2120a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈𝑉)
22 vdegp1bi.x . . . . . 6 𝑋𝑉
2320, 22pm3.2i 471 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑋𝑉)
24 prelpwi 4881 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
2523, 24mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
26 prid1g 4270 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
2720, 26mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
28 vdegp1bi.xu . . . . . . . 8 𝑋𝑈
2928necomi 2844 . . . . . . 7 𝑈𝑋
30 hashprg 13130 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → (𝑈𝑋 ↔ (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
3120, 22, 30mp2an 707 . . . . . . 7 (𝑈𝑋 ↔ (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
3229, 31mpbi 220 . . . . . 6 (#‘{𝑈, 𝑋}) = 2
3332eqcomi 2630 . . . . 5 2 = (#‘{𝑈, 𝑋})
34 2re 11042 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3534eqlei 10099 . . . . 5 (2 = (#‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (#‘{𝑈, 𝑋}))
3633, 35mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (#‘{𝑈, 𝑋}))
372, 3, 7, 9, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 36p1evtxdp1 26313 . . 3 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
381, 37ax-mp 5 . 2 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
39 fzofi 12721 . . . . 5 (0..^(#‘𝐼)) ∈ Fin
40 wrddm 13259 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(#‘𝐼)))
414, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 dom 𝐼 = (0..^(#‘𝐼))
4241eqcomi 2630 . . . . . 6 (0..^(#‘𝐼)) = dom 𝐼
432, 3, 42vtxdgfisnn0 26274 . . . . 5 (((0..^(#‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
4439, 20, 43mp2an 707 . . . 4 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
4544nn0rei 11255 . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
46 1re 9991 . . 3 1 ∈ ℝ
47 rexadd 12014 . . 3 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
4845, 46, 47mp2an 707 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
49 vdegp1ai.d . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
5049oveq1i 6620 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
5138, 48, 503eqtri 2647 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  {crab 2911  Vcvv 3189  cdif 3556  cun 3557  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  {cpr 4155  cop 4159   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  Fun wfun 5846  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cle 10027  2c2 11022  0cn0 11244   +𝑒 cxad 11896  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238   ++ cconcat 13240  ⟨“cs1 13241  Vtxcvtx 25791  iEdgciedg 25792  VtxDegcvtxdg 26265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-xadd 11899  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-vtx 25793  df-iedg 25794  df-vtxdg 26266
This theorem is referenced by:  vdegp1ci  26337  konigsberglem1  26997  konigsberglem2  26998
  Copyright terms: Public domain W3C validator