Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vdegp1ci-av Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ci-av 40752
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑈} to the edge set, where 𝑋𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai-av.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai-av.u 𝑈𝑉
vdegp1ai-av.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai-av.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai-av.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai-av.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi-av.x 𝑋𝑉
vdegp1bi-av.xu 𝑋𝑈
vdegp1ci-av.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ci-av ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ci-av
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai-av.vg . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vdegp1ai-av.u . 2 𝑈𝑉
3 vdegp1ai-av.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai-av.w . 2 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5 vdegp1ai-av.d . 2 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
6 vdegp1ai-av.vf . 2 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
7 vdegp1bi-av.x . 2 𝑋𝑉
8 vdegp1bi-av.xu . 2 𝑋𝑈
9 vdegp1ci-av.f . . 3 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)
10 prcom 4206 . . . . 5 {𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋}
11 s1eq 13175 . . . . 5 ({𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋} → ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩
1312oveq2i 6534 . . 3 (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
149, 13eqtri 2627 . 2 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14vdegp1bi-av 40751 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  {crab 2895  cdif 3532  c0 3869  𝒫 cpw 4103  {csn 4120  {cpr 4122   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  1c1 9789   + caddc 9791  cle 9927  2c2 10913  #chash 12930  Word cword 13088   ++ cconcat 13090  ⟨“cs1 13091  Vtxcvtx 40227  iEdgciedg 40228  VtxDegcvtxdg 40679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-xadd 11775  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-s1 13099  df-xnn0 40196  df-vtx 40229  df-iedg 40230  df-vtxdg 40680
This theorem is referenced by:  konigsberglem2  41421  konigsberglem3  41422
  Copyright terms: Public domain W3C validator