MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ci 26490
Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑈} to the edge set, where 𝑋𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x 𝑋𝑉
vdegp1bi.xu 𝑋𝑈
vdegp1ci.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ci ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ci
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai.vg . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vdegp1ai.u . 2 𝑈𝑉
3 vdegp1ai.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai.w . 2 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5 vdegp1ai.d . 2 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
6 vdegp1ai.vf . 2 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
7 vdegp1bi.x . 2 𝑋𝑉
8 vdegp1bi.xu . 2 𝑋𝑈
9 vdegp1ci.f . . 3 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)
10 prcom 4299 . . . . 5 {𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋}
11 s1eq 13416 . . . . 5 ({𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋} → ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩
1312oveq2i 6701 . . 3 (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
149, 13eqtri 2673 . 2 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14vdegp1bi 26489 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  cdif 3604  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  VtxDegcvtxdg 26417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-vtxdg 26418
This theorem is referenced by:  konigsberglem2  27231  konigsberglem3  27232
  Copyright terms: Public domain W3C validator