MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgfrgragt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgfrgragt2 26348
Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see remark 3 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgfrgragt2 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁)))

Proof of Theorem vdgfrgragt2
StepHypRef Expression
1 vdgn0frgrav2 26345 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0))
21imp 444 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0)
3 vdgn1frgrav2 26347 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1))
43imp 444 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1)
5 frisusgra 26313 . . . . . . . . . 10 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 USGrph 𝐸)
6 usgrav 25661 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
76simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ V)
9 usgrafun 25672 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 USGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
11 funfn 5819 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐸𝐸 Fn dom 𝐸)
1210, 11sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝐸 Fn dom 𝐸)
136simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
145, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
15 dmexg 6967 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ V → dom 𝐸 ∈ V)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → dom 𝐸 ∈ V)
178, 12, 163jca 1235 . . . . . . . 8 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ dom 𝐸 ∈ V))
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ dom 𝐸 ∈ V))
19 vdgrf 26219 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ dom 𝐸 ∈ V) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
21 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
2220, 21ffvelrnd 6253 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
23 elun 3715 . . . . . 6 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞}))
24 nn0n0n1ge2 11208 . . . . . . . 8 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))
25243exp 1256 . . . . . . 7 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
26 elsni 4142 . . . . . . . 8 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞} → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞)
27 2re 10940 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2827rexri 9949 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ*
29 pnfge 11804 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ≤ +∞
31 breq2 4582 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞ → (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ↔ 2 ≤ +∞))
3230, 31mpbiri 247 . . . . . . . . 9 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞ → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))
33322a1d 26 . . . . . . . 8 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞ → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3426, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞} → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3525, 34jaoi 393 . . . . . 6 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞}) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3623, 35sylbi 206 . . . . 5 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3722, 36syl 17 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3837adantr 480 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
392, 4, 38mp2d 47 . 2 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))
4039ex 449 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  cun 3538  {csn 4125   class class class wbr 4578  dom cdm 5028  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794  +∞cpnf 9928  *cxr 9930   < clt 9931  cle 9932  2c2 10920  0cn0 11142  #chash 12937   USGrph cusg 25653   VDeg cvdg 26214   FriendGrph cfrgra 26309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-xadd 11782  df-fz 12156  df-hash 12938  df-usgra 25656  df-vdgr 26215  df-frgra 26310
This theorem is referenced by:  frgrawopreglem2  26366
  Copyright terms: Public domain W3C validator