Theorem vdgn0frgrv2 28073

Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn1frgrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdgn0frgrv2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))

Proof of Theorem vdgn0frgrv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrconngr 28072	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ ConnGraph)
2		frgrusgr 28039	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3		usgrumgr 26963	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5		vdn1frgrv2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	vdn0conngrumgrv2 27974	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
7	6	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
8	1, 4, 7	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
9	8	expdimp 455	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  0cc0 10536  1c1 10537   < clt 10674  ♯chash 13689  Vtxcvtx 26780  UMGraphcumgr 26865  USGraphcusgr 26933  VtxDegcvtxdg 27246  ConnGraphcconngr 27964   FriendGraph cfrgr 28036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-xadd 12507  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13922  df-s1 13949  df-s2 14209  df-s3 14210  df-edg 26832  df-uhgr 26842  df-upgr 26866  df-umgr 26867  df-uspgr 26934  df-usgr 26935  df-vtxdg 27247  df-wlks 27380  df-wlkson 27381  df-trls 27473  df-trlson 27474  df-pths 27496  df-spths 27497  df-pthson 27498  df-spthson 27499  df-conngr 27965  df-frgr 28037

This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  28076  frgrregord013  28173