MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem1 15609
Description: Lemma for vdw 15622. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem1.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
vdwlem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem1.f (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem1.d (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem1.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
vdwlem1.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
vdwlem1.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑊

Proof of Theorem vdwlem1
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 vdwlem1.d . . . . 5 (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
3 vdwlem1.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
42, 3ffvelrnd 6316 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ ℕ)
5 vdwlem1.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11295 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7 vdwapun 15602 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
86, 1, 4, 7syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
91nnred 10979 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 vdwlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 nnuz 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
13 eluzfz1 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑀))
152, 14ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℕ)
161, 15nnaddcld 11011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℕ)
1716nnred 10979 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℝ)
18 vdwlem1.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
1918nnred 10979 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2015nnrpd 11814 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℝ+)
219, 20ltaddrpd 11849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < (𝐴 + (𝐷‘1)))
229, 17, 21ltled 10129 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐷‘1)))
23 vdwlem1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
2423r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
25 cnvimass 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ dom 𝐹
26 vdwlem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
27 fdm 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅 → dom 𝐹 = (1...𝑊))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = (1...𝑊))
2925, 28syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3124, 30sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (1...𝑊))
32 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
335, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
34 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
3533, 34syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0))
36 eluzfz1 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
392ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℕ)
4039nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
4140mul02d 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (0 · (𝐷𝑖)) = 0)
4241oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0))
431adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4443, 39nnaddcld 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ)
4544nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
4645addid1d 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0) = (𝐴 + (𝐷𝑖)))
4742, 46eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
48 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 0 → (𝑚 · (𝐷𝑖)) = (0 · (𝐷𝑖)))
4948oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
5049eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))) ↔ (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖)))))
5150rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖)))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
5238, 47, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5453nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
55 vdwapval 15601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5654, 44, 39, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5752, 56mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)))
5831, 57sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
5958ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
60 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝐷𝑖) = (𝐷‘1))
6160oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷‘1)))
6261eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊) ↔ (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊)))
6362rspcv 3291 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊) → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊)))
6414, 59, 63sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊))
65 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊) → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
679, 17, 19, 22, 66letrd 10138 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑊)
681, 11syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘1))
6918nnzd 11425 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℤ)
70 elfz5 12276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
7168, 69, 70syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
7267, 71mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑊))
73 eqidd 2622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))
74 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅𝐹 Fn (1...𝑊))
75 fniniseg 6294 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7626, 74, 753syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7772, 73, 76mpbir2and 956 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
7877snssd 4309 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
79 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝐼))
8079oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷𝐼)))
8180, 79oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)))
8280fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖))) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
8382sneqd 4160 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
8483imaeq2d 5425 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
8581, 84sseq12d 3613 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ↔ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})))
8685rspcv 3291 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})))
873, 23, 86sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
88 vdwlem1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
8988sneqd 4160 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐹𝐴)} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
9089imaeq2d 5425 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
9187, 90sseqtr4d 3621 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
9278, 91unssd 3767 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
938, 92eqsstrd 3618 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
94 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑))
9594sseq1d 3611 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
96 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐼) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)))
9796sseq1d 3611 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐼) → ((𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
9895, 97rspc2ev 3308 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ ∧ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
991, 4, 93, 98syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
100 fvex 6158 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
101 sneq 4158 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐹𝐴) → {𝑐} = {(𝐹𝐴)})
102101imaeq2d 5425 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (𝐹 “ {𝑐}) = (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
103102sseq2d 3612 . . . . 5 (𝑐 = (𝐹𝐴) → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
1041032rexbidv 3050 . . . 4 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
105100, 104spcev 3286 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
10699, 105syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
107 ovex 6632 . . 3 (1...𝑊) ∈ V
108 peano2nn0 11277 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
1096, 108syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
110107, 109, 26vdwmc 15606 . 2 (𝜑 → ((𝐾 + 1) MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
111106, 110mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cun 3553  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  APcvdwa 15593   MonoAP cvdwm 15594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-vdwap 15596  df-vdwmc 15597
This theorem is referenced by:  vdwlem6  15614
  Copyright terms: Public domain W3C validator