MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem3 15630
Description: Lemma for vdw 15641. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem3.a (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑉))
vdwlem3.b (𝜑𝐵 ∈ (1...𝑊))
Assertion
Ref Expression
vdwlem3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))

Proof of Theorem vdwlem3
StepHypRef Expression
1 vdwlem3.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (1...𝑊))
2 elfznn 12328 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (1...𝑊) → 𝐵 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
4 vdwlem3.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
5 vdwlem3.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑉))
6 elfznn 12328 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (1...𝑉) → 𝐴 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11294 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
10 vdwlem3.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
11 nn0nnaddcl 11284 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℕ0𝑉 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝑉) ∈ ℕ)
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 𝑉) ∈ ℕ)
134, 12nnmulcld 11028 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℕ)
143, 13nnaddcld 11027 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ ℕ)
1514nnred 10995 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ ℝ)
167, 10nnaddcld 11027 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ∈ ℕ)
174, 16nnmulcld 11028 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ∈ ℕ)
1817nnred 10995 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ∈ ℝ)
19 2nn 11145 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
20 nnmulcl 11003 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (2 · 𝑉) ∈ ℕ)
2119, 10, 20sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑉) ∈ ℕ)
224, 21nnmulcld 11028 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℕ)
2322nnred 10995 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℝ)
24 elfzle2 12303 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (1...𝑊) → 𝐵𝑊)
251, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
26 nnre 10987 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
27 nnre 10987 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℕ → 𝑊 ∈ ℝ)
28 nnre 10987 . . . . . . 7 ((𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℕ → (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℝ)
29 leadd1 10456 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑊 ∈ ℝ ∧ (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑊 ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)))))
3026, 27, 28, 29syl3an 1365 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℕ) → (𝐵𝑊 ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)))))
313, 4, 13, 30syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑊 ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)))))
3225, 31mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
334nncnd 10996 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
34 1cnd 10016 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3512nncnd 10996 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 𝑉) ∈ ℂ)
3633, 34, 35adddid 10024 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 · (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉))) = ((𝑊 · 1) + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
379nn0cnd 11313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
3810nncnd 10996 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
3934, 37, 38addassd 10022 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐴 − 1)) + 𝑉) = (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉)))
40 ax-1cn 9954 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
417nncnd 10996 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42 pncan3 10249 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 − 1)) = 𝐴)
4340, 41, 42sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + (𝐴 − 1)) = 𝐴)
4443oveq1d 6630 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐴 − 1)) + 𝑉) = (𝐴 + 𝑉))
4539, 44eqtr3d 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉)) = (𝐴 + 𝑉))
4645oveq2d 6631 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 · (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉))) = (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)))
4733mulid1d 10017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 · 1) = 𝑊)
4847oveq1d 6630 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊 · 1) + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) = (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
4936, 46, 483eqtr3d 2663 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) = (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
5032, 49breqtrrd 4651 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)))
517nnred 10995 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5210nnred 10995 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
53 elfzle2 12303 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (1...𝑉) → 𝐴𝑉)
545, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
5551, 52, 52, 54leadd1dd 10601 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ≤ (𝑉 + 𝑉))
56382timesd 11235 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑉) = (𝑉 + 𝑉))
5755, 56breqtrrd 4651 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ≤ (2 · 𝑉))
5816nnred 10995 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ∈ ℝ)
5921nnred 10995 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑉) ∈ ℝ)
604nnred 10995 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
614nngt0d 11024 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝑊)
62 lemul2 10836 . . . . 5 (((𝐴 + 𝑉) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑊 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑊)) → ((𝐴 + 𝑉) ≤ (2 · 𝑉) ↔ (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
6358, 59, 60, 61, 62syl112anc 1327 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑉) ≤ (2 · 𝑉) ↔ (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
6457, 63mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉)))
6515, 18, 23, 50, 64letrd 10154 . 2 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉)))
66 nnuz 11683 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
6714, 66syl6eleq 2708 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (ℤ‘1))
6822nnzd 11441 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℤ)
69 elfz5 12292 . . 3 (((𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℤ) → ((𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))) ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
7067, 68, 69syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))) ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
7165, 70mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285
This theorem is referenced by:  vdwlem4  15631  vdwlem6  15633
  Copyright terms: Public domain W3C validator