Theorem vdwlem4 16314

Description: Lemma for vdw 16324. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem vdwlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem4.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
2	1	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
3		vdwlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
4	3	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑉 ∈ ℕ)
5		vdwlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑊 ∈ ℕ)
7		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑥 ∈ (1...𝑉))
8		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑦 ∈ (1...𝑊))
9	4, 6, 7, 8	vdwlem3 16313	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))
10	2, 9	ffvelrnd 6846	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉)))) ∈ 𝑅)
11	10	fmpttd 6873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅)
12		vdwlem4.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
13	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → 𝑅 ∈ Fin)
14		ovex 7183	. . . 4 ⊢ (1...𝑊) ∈ V
15		elmapg 8413	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑊) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
16	13, 14, 15	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
17	11, 16	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)))
18		vdwlem4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
19	17, 18	fmptd 6872	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ↦ cmpt 5138  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  ℕcn 11632  2c2 11686  ...cfz 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887

This theorem is referenced by:  vdwlem5  16315  vdwlem6  16316  vdwlem9  16319