MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem3 15636
Description: Lemma for vdwnn 15637. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
vdwnn.4 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 𝑆 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
2 vdwnn.3 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
3 ssrab2 3671 . . . . . . 7 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})} ⊆ ℕ
42, 3eqsstri 3619 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℕ
5 nnuz 11675 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5sseqtri 3621 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘1)
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 𝑆 ≠ ∅)
87r19.21bi 2927 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑅) → 𝑆 ≠ ∅)
9 infssuzcl 11724 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
106, 8, 9sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
114, 10sseldi 3585 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
1211nnred 10987 . . . 4 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1312ralrimiva 2961 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14 fimaxre3 10922 . . 3 ((𝑅 ∈ Fin ∧ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
151, 13, 14syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
17 1nn 10983 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
18 ffvelrn 6318 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
1916, 17, 18sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
20 ne0i 3902 . . . . . . . 8 ((𝐹‘1) ∈ 𝑅𝑅 ≠ ∅)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ ∅)
23 r19.2z 4037 . . . . . . 7 ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
2423ex 450 . . . . . 6 (𝑅 ≠ ∅ → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
2522, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
26 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ)
27 fllep1 12550 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2912adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3026flcld 12547 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
3130peano2zd 11437 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
3231zred 11434 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
33 letr 10083 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3429, 26, 32, 33syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3528, 34mpan2d 709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3611adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
3736nnzd 11433 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ)
38 eluz 11653 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3937, 31, 38syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
40 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝜑)
4110adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
421, 16, 2vdwnnlem2 15635 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < ))) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4342impancom 456 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4440, 41, 43syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4539, 44sylbird 250 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4635, 45syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
474sseli 3583 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
4847nnnn0d 11303 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
4946, 48syl6 35 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
5049rexlimdva 3025 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
511adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
5216adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
53 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
54 vdwnnlem1 15634 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
5655ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
5756adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
5825, 50, 573syld 60 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
59 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑘 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
6059oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
6160raleqdv 3136 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
62612rexbidv 3051 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6362notbid 308 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6463, 2elrab2 3352 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6564simprbi 480 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6646, 65syl6 35 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6766ralimdva 2957 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑐𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
68 ralnex 2987 . . . . 5 (∀𝑐𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6967, 68syl6ib 241 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
7058, 69pm2.65d 187 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
7170nrexdv 2996 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
7215, 71pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3559  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  ccnv 5078  cima 5082  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  infcinf 8299  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  ...cfz 12276  cfl 12539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fl 12541  df-hash 13066  df-vdwap 15607  df-vdwmc 15608  df-vdwpc 15609
This theorem is referenced by:  vdwnn  15637
  Copyright terms: Public domain W3C validator