MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem1 23572
Description: Lemma for vitali 23577. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
Assertion
Ref Expression
vitalilem1 Er (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,

Proof of Theorem vitalilem1
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vitali.1 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
21relopabi 5397 . 2 Rel
3 simplr 809 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4 simpll 807 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5 unitssre 12508 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
65sseli 3736 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
76recnd 10256 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
87ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
95sseli 3736 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
109recnd 10256 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
1110ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
128, 11negsubdi2d 10596 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) = (𝑣𝑢))
13 qnegcl 11994 . . . . . 6 ((𝑢𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1413adantl 473 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢𝑣) ∈ ℚ)
1512, 14eqeltrrd 2836 . . . 4 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣𝑢) ∈ ℚ)
163, 4, 15jca31 558 . . 3 (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
17 oveq12 6818 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑣))
1817eleq1d 2820 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
1918, 1brab2a 5347 . . 3 (𝑢 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
20 oveq12 6818 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑢))
2120eleq1d 2820 . . . 4 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2221, 1brab2a 5347 . . 3 (𝑣 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑢) ∈ ℚ))
2316, 19, 223imtr4i 281 . 2 (𝑢 𝑣𝑣 𝑢)
24 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑣)
2524, 19sylib 208 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑣) ∈ ℚ))
2625simpld 477 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
2726simpld 477 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 𝑤)
29 oveq12 6818 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑣𝑤))
3029eleq1d 2820 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3130, 1brab2a 5347 . . . . . . 7 (𝑣 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3228, 31sylib 208 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ))
3332simpld 477 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
3433simprd 482 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
3527, 34jca 555 . . 3 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
3627, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
3725, 11syl 17 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
385, 34sseldi 3738 . . . . . 6 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
3938recnd 10256 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
4036, 37, 39npncand 10604 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) = (𝑢𝑤))
4125simprd 482 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑣) ∈ ℚ)
4232simprd 482 . . . . 5 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑣𝑤) ∈ ℚ)
43 qaddcl 11993 . . . . 5 (((𝑢𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4441, 42, 43syl2anc 696 . . . 4 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → ((𝑢𝑣) + (𝑣𝑤)) ∈ ℚ)
4540, 44eqeltrrd 2836 . . 3 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → (𝑢𝑤) ∈ ℚ)
46 oveq12 6818 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑤))
4746eleq1d 2820 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑤) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
4847, 1brab2a 5347 . . 3 (𝑢 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑤) ∈ ℚ))
4935, 45, 48sylanbrc 701 . 2 ((𝑢 𝑣𝑣 𝑤) → 𝑢 𝑤)
507subidd 10568 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) = 0)
51 0z 11576 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
52 zq 11983 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ ℚ
5450, 53syl6eqel 2843 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5554adantr 472 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝑢) ∈ ℚ)
5655pm4.71i 667 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
57 pm4.24 678 . . 3 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
58 oveq12 6818 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → (𝑥𝑦) = (𝑢𝑢))
5958eleq1d 2820 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢) → ((𝑥𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
6059, 1brab2a 5347 . . 3 (𝑢 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢𝑢) ∈ ℚ))
6156, 57, 603bitr4i 292 . 2 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 𝑢)
622, 23, 49, 61iseri 7934 1 Er (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135   class class class wbr 4800  {copab 4860  (class class class)co 6809   Er wer 7904  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127  cmin 10454  -cneg 10455  cz 11565  cq 11977  [,]cicc 12367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-q 11978  df-icc 12371
This theorem is referenced by:  vitalilem2  23573  vitalilem3  23574  vitalilem5  23576  vitali  23577
  Copyright terms: Public domain W3C validator