Theorem vitalilem1 24203

Description: Lemma for vitali 24208. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vitali.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
vitalilem1	⊢ ∼ Er (0[,]1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦, ∼

Proof of Theorem vitalilem1

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ)}
2	1	relopabi 5688	. 2 ⊢ Rel ∼
3		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
4		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
5		unitssre 12879	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → 𝑢 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑢 ∈ ℂ)
9	5	sseli 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℝ)
10	9	recnd 10663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (0[,]1) → 𝑣 ∈ ℂ)
11	10	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → 𝑣 ∈ ℂ)
12	8, 11	negsubdi2d 11007	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) = (𝑣 − 𝑢))
13		qnegcl 12359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
14	13	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → -(𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
15	12, 14	eqeltrrd 2914	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ)
16	3, 4, 15	jca31 517	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
17		oveq12 7159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑣))
18	17	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
19	18, 1	brab2a 5638	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
20		oveq12 7159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑢))
21	20	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
22	21, 1	brab2a 5638	. . 3 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑢) ∈ ℚ))
23	16, 19, 22	3imtr4i 294	. 2 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑣 → 𝑣 ∼ 𝑢)
24		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑣)
25	24, 19	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ))
26	25	simpld 497	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)))
27	26	simpld 497	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ (0[,]1))
28		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∼ 𝑤)
29		oveq12 7159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑤))
30	29	eleq1d 2897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
31	30, 1	brab2a 5638	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
32	28, 31	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ))
33	32	simpld 497	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
34	33	simprd 498	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
35	27, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∈ ℂ)
36	25, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑣 ∈ ℂ)
37	5, 34	sseldi 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
38	37	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
39	35, 36, 38	npncand 11015	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑤))
40	25	simprd 498	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ)
41	32	simprd 498	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ)
42		qaddcl 12358	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 − 𝑣) ∈ ℚ ∧ (𝑣 − 𝑤) ∈ ℚ) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → ((𝑢 − 𝑣) + (𝑣 − 𝑤)) ∈ ℚ)
44	39, 43	eqeltrrd 2914	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ)
45		oveq12 7159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑤))
46	45	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
47	46, 1	brab2a 5638	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑤 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑤) ∈ ℚ))
48	27, 34, 44, 47	syl21anbrc 1340	. 2 ⊢ ((𝑢 ∼ 𝑣 ∧ 𝑣 ∼ 𝑤) → 𝑢 ∼ 𝑤)
49	7	subidd 10979	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) = 0)
50		0z 11986	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zq 12348	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
53	49, 52	eqeltrdi 2921	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
54	53	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ)
55	54	pm4.71i 562	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
56		pm4.24 566	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)))
57		oveq12 7159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑢 − 𝑢))
58	57	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑢) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℚ ↔ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
59	58, 1	brab2a 5638	. . 3 ⊢ (𝑢 ∼ 𝑢 ↔ ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑢 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑢 − 𝑢) ∈ ℚ))
60	55, 56, 59	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑢 ∼ 𝑢)
61	2, 23, 48, 60	iseri 8310	1 ⊢ ∼ Er (0[,]1)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  {copab 5120  (class class class)co 7150   Er wer 8280  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864  -cneg 10865  ℤcz 11975  ℚcq 12342  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-q 12343  df-icc 12739

This theorem is referenced by:  vitalilem2  24204  vitalilem3  24205  vitalilem5  24207  vitali  24208